7 个分形图形的动画演示[转载]

转载自:http://www.matrix67.com/blog/archives/6231

最近沉迷于用 Mathematica 制作动画。受到这个动画的启发,我决定自己制作一些动画,来演示分形图形的进化过程。下面就是我这一周的成果。

Koch curve

H-fractal

 

Sierpinski triangle

 

Vicsek fractal

 

Lévy C curve

 

Dragon curve

 

Pythagoras tree

 

本来只做了 7 个,但是 Localhost-8080 说她还想要一个,于是专门为她定制了一大片雪花。

Hexaflake

二十一世纪科学和数学的趋势

转载自:二十一世纪科学和数学的趋势

 

P.A.Griffiths

早晨好.我很高兴今天与诸位一起开始进入新的千年.我不能想出一个比谈科学和数学趋势更好的题目,因为在新千年中科学和技术可能比目前更为重要.我不是一个谈论大趋势的专家,在讨论未来时感到相当紧张.但是最近我在美国联邦政府的科学政策委员会里工作,为政府服务的一个职责是你要对于不甚了解的非常大的题目进行说教.所以大家会原谅我在今天就我们正在讨论的议题作某些猜测.如果我们同意这些大趋势确实是我们今天看到的样子,那么我们也会同意至少在不远的将来,这些趋势的动量将把它们运动到什么地方.

我要谈的最重要的论题是数学和科学正在如何相互联系.我们正在领会到所有科学和数学的知识是相互关联和相互依赖的.我们也开始看到这些知识作为原理和关系的集合体,已从不可见的原子扩展到地球上巨大的生物和社会系统.其结果使我们更加清晰地认识到,需要将理论研究和应用研究紧密地靠近,也需要多个领域的人员进行合作.

我是一个数学家,我的演讲主要从数学角度看问题,由此出发可知,目前的时代显然是一个黄金时代.其原因之一是数学开始与科学和工程非常密切地相互作用.这种相互作用促使科学得到新的视野,也促使数学得到根本性的进步,我下面打算描述在科学和数学中五个主要趋势,同时也谈到二十一世纪在等待我们的一些挑战.

趋势一:研究从直线模型到动态模型

第一个重要趋势应当是我们描述研究的方式.不少人在讨论科学政策时,都认为基础研究和应用研究不同.他们说基础研究是为了自身的缘故而探索知识的,用不着多想它将会有何用途.而应用研究不同,这种研究在思想上具有比较特定的目标.许多人谈论研究的”直线模型”,他们说知识只沿一个方向运动,从基础研究到应用研究再到开发,最后到应用.但是这种模型与现实世界的情况并不完全符合,即便是最简单的研究项目也都包含思想和信息沿多个方向的动态流动.

研究者对这一点也不会感到惊奇,因为他们的研究一直如此.但是对于给研究者提供经费的机构来说,可能会感到意外.如果这些机构认识到研究的这个动态过程,他们可能会更有效地资助研究,从而把事情做得更好,例如,一个机构可能会明智地同时资助基础和应用研究,而不仅只资助一种研究,如果他们因为想要直接推进实际应用,而决定只资助应用研究,他们可能会严重地扭曲科学的进程.

我们可以想出许多个例子,表明最有创见的研究如何同时依赖于基础和应用的思考,伟大的法国生物学家路易·巴斯德(1)(Louis Pasteur)常常从医学、酿制啤酒、制造葡萄酒和农业方面的实际问题中得到研究的动力,促使他得到基础生物学和疾病方面的一些基础性发现.现代基因学之父孟德尔(Gregov Mendel)是在研究如何改进农作物这样很实际的问题时,发现基因基本定律的.举一个近一些的例子.物理中基础光学的研究具有传统的目标:为相机和望远镜生产更好的镜头,但现在给我们带来了现代电信业最重要的基础之一:纤维光学.我们需要设置不同类型研究人员的职位,并以多种方式使他们联合在一起,以使研究工作保持平衡和多样化.

趋势二:从理论+实验,到理论+实验+计算

第二个趋势是研究过程自身的扩展.就在不久以前,我们把研究方式还归结为两种手段:理论与实验.现在由于计算机能力的开发,我们又加上了第三种重要的手段:计算,这第三种手段使我们可以对于直接测量或定量化太复杂的一些系统,来设计它的数学模型,从而回答几十年前不能理解的一些问题.

臭氧洞

需要大规模计算的一个人们熟知的例子是海洋与大气的混合体,我们试图把流体力学和非线性动力学组合起来去了解这个混合体,模拟它所基于的物理和化学过程,但是它比诸如墨水在水中运动这种快速扩散过程要复杂得多.

例如,仔细看一下,两种环境中均有非混合流体的”孤岛”,另一种介质无法从外部穿入进来在海洋中这种现象对鱼的生死是至关重要的,因为鱼依赖于营养物、化学物质、浮游生物和其他鱼这种混合环境,在大气中,这些孤岛可决定污染和温室气体的传播.例如每年冬天在南极上空形成的臭氧洞就是这种孤岛之一.洞中的臭氧几乎完全被上层云的化学反应所破坏,洞由臭氧包围,大气被湍流搅动,但是周围的臭氧不能进到洞内,这是由于它在强大的涡流中心.而数学模型正确地预示出涡流的外沿是阻碍混合的壁垒.每年春天温度上升后涡流被破坏,阻碍消失,新的臭氧便回到洞内.

理解这个问题需要科学研究中的所有三种手段:流体力学的理论,对大气层条件进行实验,最后还需要计算,然后检查它与初始观察是否一致.在过去我们没有强有力的计算机,这种研究是不可能进行的.

KepIer球填装猜想

计算机的威力还可使我们解决数学的一个重大难题,这就是关于球填装(sphere packing)的开普勒(Kepler)猜想,它曾经难倒了将近四个世纪的数学家,这个问题始于十六世纪后半期,Walter Raleigh爵士写信给英国数学家Thomas Harrot,希望他给出一种快速方法来估计船甲板上堆积的炮弹个数.Harrot又写信给德国天文学家开普勒,后者对堆积问题颇有兴趣:如何在空间排放一种球,使球之间的空隙最少?开普勒找不到比船员堆放炮弹或者水果店老板堆放水果的最自然的方式更好的办法,这个最自然方式就是以正方体诸面的中心作为球心的安排方式,上述推断就成为著名的开普勒猜想.

这个问题之所以困难,是因为要排除巨大数量的可能性.在二十世纪中期,数学家们原则上知道如何把它归结于一个有限性问题,但即便如此,对当时可行的计算来说该问题仍是太大了.1953年取得重大进展,匈牙利数学家Laszlo Fejes-Tóth把问题简化成由许多特殊情形组成的一个巨大的计算,他还提出了用计算机解此问题的新途径.

Hales给出的证明非常复杂.他的方程有150个变量,每个变量都要变化,用于描述想象出来的各种堆放方式.证明中大量采用整体优化理论、线性规划和区间算术的方法.证明共有250(教科书)页和3个gigabytes(3×10^9个字节)的计算机程序和数据.只有到证明的末端才能知道Hales的将问题简化为一个有限问题是合理的.他本人也承认这个证明又长又复杂,要别人来确认所有细节还需要时间.

值得提及的是,这项工作照亮了其他相关领域.球填装问题属于数学的一个重要部分,可应用于差错检测码和纠错码的研究.这两种码被广泛应用于在压缩盘内存储信息,以及用于压缩信息以在世界范围内传送,在今天的信息社会中,很难再找到比这更重要的应用.

理论计算机科学

我要强调一下,计算属于计算机科学这个大领域,而它的理论方面己成为今天最重要和活跃的一个科学研究领域.它在半个世纪之前才真正开始,那时现代计算机还不存在,图灵(Alan Turing)和他的同代人用数学方法定义计算概念,并研究计算的威力与极限.这导致冯·诺依曼(von Neumann)建造了第一台电子计算机,再后来便是我们今天目睹的计算机革命.

计算机的实际使用和”计算”概念的出人意外的深度,使理论计算机科学得到更大的扩展.在最近25年里,理论计算机科学已成长为一个富饶而美妙的领域,并与其他科学建立了联系,同时吸引了一批一流的年轻科学家,其中一个重要的发展是把研究的焦点从”计算”转到更加难以捉摸的”有效计算”.其他重要问题有: NP—完备性,用随机性使算法理论革命化以及发展现代密码学和复杂性理论.

理论计算机科学除了这些内部发展之外,还有它与数学(诸如组合学、代数、拓扑和分析)之间重要的交叉成果.甚至理论计算机科学的基本问题异军突起,进入数学的中心问题之列.愈来愈多的数学家正在考虑他们研究领域的”计算”问题.换句话说,他们始于理论结果: “这个问题有解”,然后他们紧接着问:”能以多快的速度和多大的近似程度找到解?”

理论计算机科学最后一个方面也是不少人特别感兴趣的,就是其他科学提出的一系列全新的算法问题.在这些问题中所需要的输出不能预先定义,并且它几乎可以始于任何类型的数据:一张图画,声波显示,从哈勃空间望远镜中读出的资料,股票行情,DNA序列,动物对刺激的神经反应的记录等,数学模型是试图使这些数据有意义,或者预测它们的未来值.

一般来说,”计算”一词本身和它周边一些主要问题,既具有实际的也具有深刻的哲学意义和推论.这个领域集中于几个明确而深刻的问题.例如:随机性是否能帮助计算?构成一个困难问题的证明的是哪些东西?能够做成量子或光子计算机吗?在这个新领域,取得令人惊奇的成长和加深新的基本性理解的时机已经成熟.

趋势三:从学科内研究到跨学科研究

目前第三个影响广泛的发展趋势是:从学科内研究转向跨学科研究.学院式的研究机构在传统上是按学科组织的,研究方案和成果由同领域的某些研究人员来鉴定.一个成功的学术生涯仍然主要依靠于学科内研究的成功程度,而这主要由发表的论文、学术职称的选举(这也按学科部门进行)和得到研究经费的能力来衡量.

总的说来,各学科在研究的深度和焦点问题上都取得了很大的成功:物理学探索了物质的构作部件,化学创造了具有特定性能的新的合成物质,生物学判定了控制和调节生命的许多基因和蛋白质,与此同时,一些现代问题要求新的更广阔的研究态度,新的跨学科研究小组正在探索更大的问题,其复杂程度远大于任何一个学科中的问题,

生命科学

在生命科学方面,这个趋势特别明显,在这里,新的技术和知识极大地改善了理解正常生物功能和疾病的能力.广阔的科学学科正在开始相互交织,成为生物、化学、物理和数学的新的聚合体.

比如,物理学为许多公共医疗的临床实践提供了基础性原理,有了诸如X光透视,CAT扫描,纤维光学视仪,激光外科手术,ECHO心动描记器和胎儿测音等.材料科学帮助制作新的人工关节,心脏阀门和其他人工组织.同样地,对核磁共振和正电子的理解有助于成像实验,使我们能跟踪大脑伴随思考、运动、情感、会话和药物使用而活动的位置和时间.基于三维蛋白体结构,将X射线晶体学、化学和计算机建模相结合,现在可以用来改进药物设计.

如果没有重组DNA的方法,人类基因组计划(目前,正在对从微生物到人的有机体的染色体,进行作图和排出核苷酸序列)就不会存在.反过来,如果没有早期对合成、切断与重组DNA的各种酶的研究,也没有可能进行分子克隆.再进一步,今天打算到2005年完成人体DNA的3×10^9个基本序列的图谱,要依赖干机器人的加工采样和计算机对资料的存取比较能力.其他更专门的子领域的研究也不可缺少.目前正致力于以商业化的规模从事DNA的序列研究(如筛选出许多能导致某些癌症的突变的个体),使用的是毫微级技术和光化学,把接近于10^5个DNA的不同短链合成到一个小芯片上.

传染病

数学和生物学在研究人体传染病方面的结合呈现为一种新的发展很快的伙伴关系.这项工作的基础建于二十世纪二十年代,意大利数学家Vito Volterra发展了捕食与被捕食(predator-prey)关系的第一个模型.他发现鱼类中的捕食与被捕食种群的增减可以很好地用数学描述.二战以后,对动物群体变化建立的数学模型扩展到流行病学研究中.用类似于种群生物学的方法研究大的人群中的疾病变化状态.

更近一些时候,在分子基因方面的成果已启发和鼓舞科学家用同样的方法来研究传染病,此时的研究对象不是有机物或人的群体,而是细胞群体.例如,在细胞系统中,捕食者是病毒群体,而被捕食者为人体细胞群体.这两个群体在复杂的达尔文式的战斗中此起彼伏,而这种战斗正可以用数学进行描述.

生物数学家已经可以定量地预测细胞受病毒感染后的生命期望值.在研究艾滋病传染方面发现了一些奇妙的结果,这又反过来帮助我们理解艾滋病病毒在受感染病人体内变化情况.流行的观点是艾滋病病毒有10年左右的潜伏期,然后开始感染宿主细胞并引起疾病.但是数学模型表明引起主要疾病的艾滋病病毒没有潜伏期;它们不间断地快速增长,半生命周期只有两天左右.

那么,为什么要经过10年左右才开始感染?又是由数学模型表明,疾病的进展可能是由病毒的进化引起的,免疫系统可以长时间抑制病毒,但实际上病毒变异成若干新形式并且愈来愈多,最终压倒了免疫体系.

同样的数学模型已使我们理解为什么抗艾滋病病毒药物要组合服用并且在感染期间要尽早服用.组合服用效果最好,是由于病毒每次极少产生多种变异.另一方面,应当在病毒还没进化得太远之前就要服用.

趋势四:简化主义伴之以复杂系统研究

第四个主要趋势是从传统的集中致力于简化方法转到更多地研究复杂系统.把一个系统简化成一些最小系统的简化主义一直到最近仍是主流.许多人把研究最小粒子的物理学作为科学的最真确部分.卢瑟福(Rutherford)爵士曾有句名言:”所有的科学或者是物理学,或者是收集邮票.”卢瑟福爵士显然是简化主义信条和早期物理定律简明性的热情崇拜者.

但是,尽管有关世界的定律是简明和有序的,但世界本身并不如此.让我们看看任何一个地方,比如教室外面,到处都是复杂的现象:起伏山峰的排列,沙丘表面呈现的纷乱模式,金融市场的相互影响,生物学中种群的忽涨忽落.

因为世界是复杂的,就需要较为复杂的模型.复杂的模型不只是使问题本身更大和更烦琐,而且会有根本的差异.我们不能用研究具有良好行为的系统的工具来刻划复杂系统,只采用将基本定律用于大规模方程组的外推方法是不够的,对复杂系统的研究比

这要困难得多.

研究气候是一个好的例子.确定大气变化的基本方程——Navier-Stokes方程是非线性的.这意味着每个要预测的变量(如风速或风向)在方程中均有方幂.这些指数使系统对初值的微小变化或测量的误差均非常敏感:初值稍有改变就会有很不同的结果,这就是使天气预报有效期只有3-5天而更长期预报则不准的原因之一.

工程师们早就遇到过这种复杂性.例如每个奔腾芯片包含数百万个小元件:晶体管,连线和纵横交织的各种门元件阵列.每个元件的基本功能是清楚的,但集成之后这些元件相互影响的方式则不简单.设计师要精心制作模型程序来预测这些相互影响,以消除对错误(bugs)的敏感性.

生命科学已经在复杂系统的研究中得到了丰富的成果.经过几十年的努力,已成功地把关于生命的基本问题归结为个体基因和蛋白质的问题,现在生物学家的兴趣则是要用更系统的方法考察这些构成要素.基因排序和其他技术在不久的将来就会把细胞的各个部件分开,并读出它们的个体功能.现在研究者想要知道作为一个系统它们的功能是什么.

一个重要的挑战性问题是要了解控制细胞功能的化学网络,它是个高度复杂的系统.例如单个的基因表达(2)(expression of individual genes)通常不是由1个、2个或5个蛋白质来控制的,而需要许许多多的蛋白质.其中有些一直与DNA相连,有些只是暂时相连.细胞分子之间的相互作用有反馈效应,这会增加或减少其他分子的表达.

我们这里所说的是用计算机为细胞系统建模的初期尝试,可把它称作生理学研究的第三个方面.第一方面是 “in vivo”(活体内),然后是”in vitro”(活体外,即试管内),现在则是”in silico”(利用硅片,即用计算机).这种基本的模拟就可以告知我们当营养和环境发生简单变化时细胞是如何反应的.目前正在进行的另一些跨学科研究方案,着力于了解病毒如何”决定”它是在载体中复制,还是潜伏以等待更好的机会.看起来,病毒好像有反馈控制机制,是它本身固有的”噪声”,从而在同样条件下并不全都做出同样的决定.这个聪明的适应性能保证在别的途径有危险时,总会有一些生存下来.

趋势五:全球化和知识的扩散

影响研究工作的第五个趋势是科学的全球化.我在前面说过,我们需要各种类型的研究,基础性的和应用性的.这个思想的引伸,就是在国际性竞争中每个国家都需要进行所有类型的研究,二十世纪七十和八十年代,曾经有人相信一个国家可以使用其他国家的研究成果,只要有好的制造业和市场运作技巧就可拿来受益.但是现在看来,这种”技术第一”的战略并不如我们预想的那么有效.近年来,曾经采用此战略的日本、韩国和其他一些国家均改变方针,建立自己的研究队伍.他们认识到,为了理解和扩展别人得到的发现,需要自己有高水平的队伍.

这个趋势的第二层含义是指知识在发达国家和发展中国家同时进行全球性交流.这个趋势对于发展中国家特别重要,这些国家迫切想要提高自身的科技实力.在一代人以前,这些国家的科学家只能去他国寻找最好的研究机会和设备.现在情况开始转变,这些国家最好的科学家逐渐地愿意留在家里为本国科学事业效力.

最近世界银行发起一项动议,在世界各地的一些国家建立小型示范性的研究所,称作”新干年科学启动项目”(The Millennium Science Initiative).它从Packard基金会得到种子基金,再从世界银行贷款便开始运作.第一批新千年科学研究所(The Millennium Science Institute,简称MSI)现已建在智利,以后还将陆续在拉丁美洲和世界各地的其他国家建立MSI.

这些MSI的目标是使科学家能在自己的祖国工作,他们在本土从事研究,并通过培养研究生和博士后来训练下一代科学家.他们将与现有的研究单位建立联系,并能帮助促进经济发展.这些研究所将形成一个全球网络,通过电子设备连在一起,并具有共同的目标.我预言你们在将来会听到更多建立这种研究所的消息.

一些挑战

最后我想谈谈在新干年等待着我们的一些巨大困难和挑战,这些困难和挑战会阻碍跨学科合作研究的趋势.我说过我们需要学科间高水平的相互交叉,但是有一些重大的障碍需要克服.我在下面仍以数学为例,其他学科的情形是类似的.

影响相互交叉的一个障碍是我们自己的孤立传统,我们数学家过去总是与数学其他分支隔绝,与科学的其他领域隔绝,更是与非学术领域特别是与私人公司或单位隔绝.重要的是应在研究所内和研究所之间建立更多的桥梁.比如说,大学文化和私人工业的文化很不相同,几乎没有数学系大学生具有起码的工业知识,使他们将来在工业界能有满意的职业生涯.在美国,新的数学博士中大约80%只考虑从事数学研究.而我在前面提到过许多非常活跃的工业领域,例如生物信息和通信技术,在那里有许多前途广阔的发展机会.

“纯粹”数学的文化

使我们感到不适的更基本原因可能是在二十世纪我们所受的教育:最艰深的数学问题才是最重要的.我们的文化也教导我们说:最有价值的是数学在心智上使人激动,数学结构的精巧和简单,以及探究有趣问题的自由性,不管这种探究将你带到何方.

在我当研究生的年代,为数学而研究数学的这个传统起着决定性的作用.比如说,哈代(Hardy)的书《数学家的自白》(A Mathematician’s Apology)曾给我很大的影响.哈代讲数学的内在美.他认为我们作数学是由于它作为美学的和心智的活动的重要性.任何与实际应用或与物理世界的关联都是不恰当的甚至是我们所不希望的.没有老师教我们去研究像在工程、生物、化学或气象学等方面看上去乱糟糟或者没有精确解的那种问题.我们总喜欢”纯粹”的问题,而”纯粹”这个词给出了表明我们态度的一幅清晰的图画,仿佛所有其他类型的活动都不是那么纯粹.

但是,让我们再回到数学悠久的历史中看一看,这会有所帮助.在前面提到的巴斯德和孟德尔两个例子中,我们看到基础数学中的发现是由于实际问题的驱使.我们再想一想牛顿、欧拉、高斯、黎曼、庞加莱和其他一些数学家,他们的数学都跟对物理世界的研究相结合.从大部分历史中,我们都已分享到物理的数学方面,并且发现它们实际上很有趣.

不过在二十世纪,逐渐发展了为数学而做数学的传统.我们所设计的大学中,不再鼓励跨越学科边界的合作.我们人为地把”应用数学”系从”纯粹数学”系里分出去,这反映了对数学思维的一种狭隘的观点,

又比如,我在二十世纪的七十和八十年代教数学的时候,当时的数学系教员仅限于关注纯粹性研究,当然在这方面教授们干得很漂亮.但是我们人为地与应用数学家隔开,应用数学和计算机科学、控制论和其他工科一起,成为应用科学系的一部分.曾经有一次我打算聘一个优秀数学家同时在两个系任职,他研究流体力学,既从偏微分方程方面(“应用”方面?)也从数值分析方面(“纯粹”方面?)进行研究.不幸的是,系里其他人认为他的工作对我们来说不够”纯粹”,我认为聘任他是跨学科研究的绝好的机会,但其他人拒绝我的看法.

今天,这种事情很少再发生了,数学已经与科学与工程更加互动,这种互动已使科学和数学的基础性研究均受益匪浅.所以我们要更加关注我们自身研究以外的领域,包括数学以外的一些学科.

我认为在有效地组织研究工作方面,大学可以从私人机构那里学到很多东西.比如位于新泽西州的老贝尔实验室就是美国的一个很出色的研究单位.在那里,研究入员被组织成多学科的小组.在贝尔实验室,不是由组织结构决定科学,而是由科学决定组织结构.在这里探索问题有更大的自由和灵活性,在创造杰出科学成果上取得了巨大的成功.

很幸运,风向似乎有些改变.比如在去年,美图国家卫生研究所(National Institute of Health)宣布要成立一个新的生物工程项目,资助多学科研究.而跨学科评估专门小组似乎也想跟着这样做,正在计划成立一些新的跨学科研究中心,其中一个建议设在斯坦福大学,集中研究生物物理.另一个是在普林斯顿,集中研究基因和蛋白体.美国Packard基金会近来投入一笔巨大经费支持跨学科研究项目,这类项目要想在现有联邦机构内得到资助是非常困难的.

结论

在结论中我要强调,无论是观察我们的研究活动,还是我们彼此工作的方式,我们都正在看到全球性的相互交流与合作的大的发展趋势.研究工作正在变得更为复杂,因为我们要进行大量计算工作.研究也愈来愈要跨学科进行,因为这是理解复杂系统的最好方式/世界各国都开始认识到,如果要参加二十一世纪的知识和经济竞赛,一定要有自己的研究能力.

我在这里与中东科学家讨论一件令人振奋的事情,就是打算在贝鲁特建立一个小型和跨学科的国际性研究中心.这个中心将作为新千年科学启动工程的组成部分、它的一个目标是在阿拉伯国家和以色列科学家之间促进不同学科的合作研究与教育,我确信科学研究是一个很好的场地,不仅使科技知识更为先进,而且也有助于使人们学会进行跨越国界的合作.我确实相信,迎接二十一世纪挑战的最好方式是认识并适应这个强大的趋势,向老贝尔实验室这样的组织机构学习,它们在多年前就看出团队工作和跨学科研究的价值.今天我们面临的挑战是要把这种研究模式继续改进,把它们从工业界扩展到学术研究和教育中,训练明天的科学家和工程师,

非常感谢大家.

微分方程定性理论的诞生

转载自:微分方程定性理论的诞生

 

在科学史上这样的情况很多,微分方程定性理论的诞生,就是典型事例之一。

历史上微积分的出现,为人们研究各种运动提供了犀利的数学工具。诚如恩格斯所说:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,而且也表明过程:运动。”实际上现在微积分的运用已不限于自然过程。

用微积分描述运动,便得到微分方程。从微分方程求出的解 y=f(t)是一个函数表达式,通常表示一条平面的或空间的曲线。根据这个表达式可知道曲线的形态和各种性质,从而可以刻画出研究对象的运动规律,并可以定量地预测它的运动趋向。例如,太阳系中,行星在太阳的引力作用下所做的绕日运动(也称二体问题),就通过微分方程的解能够相当清楚地知道各个行星的运动轨道,能作出相当准确的各种预测。这些了不起的成就,既显示了牛顿力学和微积分的威力,也促使微分方程成为了数学的一个重要分支学科。

从17世纪后半叶到19世纪后半叶,二百年间,微分方程的发展始终围绕着一个中心问题——如何求微分方程的解。许多数学家致力于这一课题,对于微分方程的求解方法积累了很多具体经验,以致有的数学史书籍形容说:在18世纪,微分方程这一学科是各种类型的求解方法和技巧的汇编。

然而,数学家们陆续发现一类又一类的微分方程是难以用已有的方法求解的,或者说,只有极少量的微分方程能求得具有解析函数表达式的解,甚至可以说能具有这种解的微分方程只是凤毛麟角。比如,太阳系的三体问题解决得非常好,而三体问题,像太阳、地球和月球三者在引力作用下的相对运动等问题就长期求不出解,因而人们所关心的太阳系的稳定性问题也就得不到明确的答案。

面对微分方程求解这一难题,自牛顿起,就尝试用无穷级数来求近似的数值解。这虽然是求解的一个重要思路和方向,但是可以想像,在那没有电子计算机的时代,近似计算的工作量之繁重,实在是人们难以胜任的,所以像太阳系的稳定性这样的全局性问题,依然难以讨论和解决。

历史常常有很好的借鉴。

对于代数方程,早在古代,人们就顺利地求得了一次和二次代数方程的根式解,可是直到16世纪才找到了三次和四次代数方程的根式解。当然人们继续努力,希望仍用求根方法去解更高次的代数方程,然而却屡屡失败。直到19世纪,数学家阿贝尔证明:五次和五次以上的代数方程一般没有根式解。这样,人们终于放弃了过去一味寻找根式解的愿望和追求,转而探讨代数方程的系数和根的关系,后来曾成功地研究了实系数代数方程的实根数目问题。

将微分方程求解问题与代数方程求解问题进行类比,使一些数学家想到了可以从微分方程本身去探讨解的性质。第一个最为明确地提出这一思想,为微分方程求解问题开辟出一条新的研究途径的是法国数学家庞加莱。

庞加莱是以自己的一系列扎实的研究工作为微分方程求解问题开创出新天地的。他以《关于由微分方程所定义的曲线的研究报告》为题目,于1881、1882、1885、1886年发表了四篇内容精彩的研究论文。从他的论文题目就可以看出,他是把微分方程的解看作由微分方程本身所定义(或确定)的曲线族。这是一种崭新的认识和提法,以这种新认识为出发点,就引导出一条新的思路。与过去截然不同,不是着眼于先求出方程的解,再研究解的性质,而是在不求出解的情况下,通过直接考察微分方程的结构、系数等对解的性质做出判断。也就是着力从微分方程本身去分析和推断它的解可能具有的种种特性,如曲线的形状、结构、特点、趋势以及是否具有周期性、稳定性等等。庞加莱把微分方程求解这一老大难问题转换为研究由微分方程所定义的曲线的性质这样一个新课题,从而打破了僵局,开辟出新路。这是微分方程发展史,也是数学发展史上具有里程碑意义的一件大事。

庞加莱在1881年第一篇论文中写道:

“一个函数的完整研究包含两个部分:

定性部分,或函数所定义的曲线的几何研究;

定量部分,或函数值的数字计算。

自然地,研究一个函数,应该从定性部分开始,因此占首要地位的问题是:作出由微分方程所定义的曲线族。”

庞加莱把定性研究置于首要地位,把自己的一系列研究工作称为“微分方程定性理论”。他在四篇论文中为定性理论的研究提供了基本概念和基本方法,从而开拓出一个可以让人们继续深入研究的广阔领域。虽然庞加莱的开创性研究是初步的,经过他的同时代人和后继者们的进一步工作,使微分方程定性理论逐步走向完善,至今仍是一个吸引许多数学工作者的活跃领域。

一些优秀数学参考书

转载自:一些优秀数学参考书

 

一、数学分析

复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾受益于此.到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.

另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好像后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错.

总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的”数学分析原理”,

其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的”模本”是辛钦的”数学分析简明教程”,而复旦则选了”数学分析原理”.

后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引Lebesgue积分值得商榷.

下面开始讲一些课本,或者说参考书:

1.菲赫今哥尔茨

“微积分学教程”,”数学分析原理”.

前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;

后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.

此书堪称经典.”微积分学教程”其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).

相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找”微积分学教程”,因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当作有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的

可别怪我.

毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.

2. Apostol

“Mathematical Analysis”

在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了.

3. W.Rudin

“Principles of Mathematical Analysis”

(有中译本:卢丁”数学分析原理”,理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,

这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.

4.方企勤,沈燮昌等

“数学分析”(北大版)”数学分析习题集”,”数学分析习题课教材”.

北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答。

5.克莱鲍尔

“数学分析”

记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.

6.张筑生

“数学分析新讲”(共三册)

我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.像他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了”都云作者痴,谁解其中味”.在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.

下面的一些书可能是比较”新颖”的.

7a.尼柯尔斯基

“数学分析(教程?)”

是清华的人翻译的,好像没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.

7b.”数学分析”

忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的”高”.

8.狄多涅”

现代分析基础(第一卷)”

那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当”高深”,可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

9.说两句关于非数学专业的高等数学.

这里强烈推荐几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如有J.Dixmier院士的”高等数学”第一卷)或者叫”普通数学”,其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.

10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫”亚一致收敛性”,在”微积分学教程”里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金(Lusin)的”实变函数论”里面.

11.华罗庚先生的”高等数学引论”第一卷

这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.

12.何琛,史济怀,徐森林

“数学分析”

这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.印刷质量也相当不错.

关于数学分析的习题,还有一本书,就是G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的”数学分析中的问题和定理”在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了.该书的内容还是非常丰富的在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的.

二、空间解析几何

空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.

在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的”空间解析几何”里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.

1、项武义,潘养廉等”古典几何学”.(十来年前大概做过教材的一本书)

这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.

2、陈先生

“空间解析几何学”

内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.

3、朱鼎勋

“解析几何学”

这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.

如果想了解比较”新”的动态,可以考虑Postnikov”解析几何学与线性代数”(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本.

我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的”解析”几何的内容总有一天要下放到高中里面去.

上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解.

4、狄隆涅

“(解析)几何学”

这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.总书库里面有.

穆斯海里什维利”解析几何学教程”

这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考

的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过

是”虚”的而已).

三、高等代数

高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.

这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.

现在用的课本好象是北大的”高等代数”.用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.

值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了).

从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.

1、蒋尔雄,吴景琨等

“线性代数”

这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.

2、屠伯埙等

“高等代数”

这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的”选做题”.能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的,据说屠先生退休的时候留下这么句话:”今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我.”有此可见一斑.

如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.

3、屠伯埙等

“线性代数-方法导引”

这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更”实际”一些.值得一做.

4、甘特玛赫尔”矩阵论”

另外,讲到矩阵论.就必须提到这本书,我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.

在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看”矩阵论”.这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣. 4、5、许以超

“线性代数和矩阵论”

必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子.

6、华罗庚

“高等数学引论”

华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.

可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):

n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.

这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.

高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如

7、贾柯勃逊(N.Jacobson)

Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra

GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31

(“抽象代数学”第二卷:线性代数)

这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.

8、 Greub

Linear Algebra(GTM23)

这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.

9、丘维声

“高等代数”(上,下)

北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.

10、李炯生,查建国

“线性代数”

这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能属于相当先进的了.

四、常微分方程

从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.

这里我打算还是从现行课本讲起.

常微分方程这门课,金福临先生和李训经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.

应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响).但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较”现代”的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说”这个题其实按下面的办法解更简单…”而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.

下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.

1、彼得罗夫斯基

“常微分方程讲义”

在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非*员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.

2、庞特里亚金

“常微分方程”

庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的”连续群”,”最佳过程的数学理论”,你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了.他的这本课本就是李训经先生他们翻译的.此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字不感冒的话绝对值得一读.

下面转到欧美方面,

3、Coddington & Levinson

“Theory of Ordinary Differnetial Equations”

这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.

比较”现代”的表述有

4、Hirsh & Smale

“Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems”

(中译本”微分方程,线性代数和动力系统”)

这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问. Arnol’d

5、”常微分方程”

必须承认,我对Arnol’d是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov, Arnol’d, Manin, Novikov, Shavarevich, Sinai…由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol’d对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.

再说一句,Arnol’d的另外一本书,中文名字叫”常微的几何方法….”的,程度要深得多.

看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.

6、丁同仁,李承治

“常微分方程教程”

这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看。

7、卡姆克(Kamke)

常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数.

对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的”数学物理方法”课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的”完备性”,象Courant-Hilbert”数学物理方法”第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些.

而且,

8、王竹溪,郭敦仁

“特殊函数概论”

的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:”(70年代末)…我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的’特殊函数概论’…从此这本书就一直在我的书架上,…经常在里面寻找我需要的结论…”连他老先生都如此,何况我们?

五、复分析

单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说”我们应当给’虚’数i以实数一样的地位…”)就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.

复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的–举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.

1.范莉莉,何成奇

“复变函数论”

这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的.不知道数学系的学生还发这本书吗?

如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:

2.普里瓦洛夫

“复变函数(论)引论”

这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句”sin z有界无界?”此人稀里糊涂地回答了一句”有界”,就马上被开回去了,实在是不幸之至.

3.马库雪维奇

“解析函数论(教程?)”

它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用做课本,学完后再看,然后就可以开始做研究了.这本书的一个毛病是它喜欢用自己一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D’Alembert吧!

再说点西方的:

4.L.Alfors(阿尔福斯)

“Complex Analysis(复分析)”

这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮。

这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy–积分公式;Riemann–几何化的处理;Weierstrass–幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.

5.H.Cartan(亨利.嘉当)

“解析函数论引论”

这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套”数学原理”好念多了。

6.J.B.Conway

“Functions of One Complex Variable”(GTM 11)

“Functions of One Complex Variable,II”(GTM 159)

(GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,对于在1中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到.

7.K.Kodaira(小平邦彦)

“An Introduction to Complex Analysis”

Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于”不深,但该学的基本上都有了”的那种类型.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本”Complex analysis”我就找不出什么错.

8.偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的,习题较多。科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。其他的复变书都大同小异,偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。

人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题

9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的”数学分析中的问题和定理”第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的.

10.”解析函数论习题集”

实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.其它的书我认为可以翻翻的包括:

11.张南岳,陈怀惠

“复变函数论选讲”

这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章”正规族”,第二章”单连通区域的共形映射”都是直接可以看的,第五章”整函数”同样如此.看一点第七章”Gamma函数和Riemann zeta函数”(这部分内容在6.里面也有),然后去看。

12.J.-P. Serre(塞尔)

“A course of Arithmetics”(数论教程)第二部分的十来页东西就可以理解下述Dirichlet定理的证明了:”a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数”Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.

J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)

在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下还有

13.庄圻泰,何育瓒等

“复变函数论(专题?)选讲”差不多的题目应该有两本,一本比较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得太专门了点.

除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合看. 14.W.Rudin

“Real and Complex Analysis”

必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候再谈吧!

15.L.Hormander

“An Introduction to Complex Analysis in Several Variables”

这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些奇异积分.

16.Titchmarch

“函数论”

这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:”(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容..”关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!

17.戈鲁辛

“复变函数几何理论”

这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.最后讲一本书,不知道复旦有没有:

18. R.Remmert

“Complex Analysis”(GTM,reading in mathematics)

Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚.

偏微分方程

顾名思义,就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的.这个分支里面的东西丰富之至。

现行课本是

1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿

“数学物理方程”(上海科技)

这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质–但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么?

一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^\infty推理的可能–数学经济是怎么回事,可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!

学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.

注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书

6.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,???

“数学物理方程”(人民教育?高等教育?)

这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本”官方的”习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的.

比较容易找到的书里面,

7.陈恕行,秦铁虎

“数学物理方程–方法导引”

是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.

还有

8.O.A. Ladyzhenskaya

“The Boudary Value Problems of Mathematical Physics”

和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说.

既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,在这个方向上我以为

9.李大潜,秦铁虎

“物理学与偏微分方程”(高教)

还是很不错的,上册已经出版,下册也就要付印了.该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.比如

10.L.Bers, F. John, M. Scheter,

“Partial Differential Equations”

Bers是个很有趣的人,可以看看

11.L.Steen, ed.

“今日数学”(Mathematics Today)

里面的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错.

12.F. John

“Partial Differential Equations”

这本书系资料室肯定有.剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.

13.J. Rauch

“Partial Differential Equations”(GTM128)

14.M. Taylor

“Partial Differential Equations I”(Applied Mathematical Sciences 115)后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))

引G. Lebeau的一句话,这书比

15.L. Hormander

“Linear Partial Differential Operators, I”

要好念多了.(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已–法国科学院通讯院士,46岁)

八、实变函数

这是数学系的学生学到的第一门完全属于二十世纪的课程.这门课程的重要

性是不言而谕的.对于这门课程在中国的发展,许多和复旦有密切关系的前辈都

做出过重要贡献.

在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到”这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的”.

1.程先生为陈建功先生在

“中国现代数学家传”(第二卷)里面做了一篇传记,不可不读.

陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是

2.陈建功

“实函数论”

今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.

陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经…

前校长杨福家先生在某次会上说过”复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样….”那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在”摆不平”又搬了出来–陈先生和苏先生的地位可见一斑.

今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字)现在用的课本是

3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌

“实变函数论与泛函分析”第二版,上,下册

这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从1978年第一版

出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益与此书的学生不可计数.

夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看

4.杨乐,李忠编

“中国数学会六十年”

里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.

六十年代初,夏先生就已经是”现代数学丛书”的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样.

我们一章一章来看:

第一章”集和直线上的点集”

这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,象实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容.大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在

5.E.Hewitt, K.Stromberg

“Real and Abstract Analysis”(GTM 25)

里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到”The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently”.这是很有道理的.

这个方向上扩展出去可以看

6.那汤松

“实变函数论”

在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡.

另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如

7.汪林

“实分析中的反例”

这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!和一些习题集和解答,比如

8.”实变函数论习题解答”

这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧.

9.”实变函数论的定理与习题”

记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高.

第二章”测度”.

这是这本书上册的核心.

测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于

10.P.R.Halmos

“Measure Theory”(GTM 18)

(中译本:测度论)

的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做.

集环的理论

一本相当有趣的书可以看看,就是

11.J.Oxtoby

Measure and Category(GTM2)

这里的”category”不是指代数里面的范畴,

而是集合的”纲”,讲了很多有趣的东西.

现在可以来谈谈

12.周民强

“实变函数”(第二版)

这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题–复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书:

13.程民德,邓东皋

“实分析”

我见过这书里面的一个测度的题目:$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!

此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.

需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S

的差别还是有用的.

八、实变函数

第三章

这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的.

在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的:

14.I.E. Segal, R.A. Kunze

“Integrals and Operators”

15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin

“函数论与泛函分析初步”

这些作者应该说都是相当好的数学家了.

比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.

最后问个小问题:”L^1?是R上全体可积函数全体构成的空间”这句话对吗?

第四章

从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.

上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是:

19.汪林

“泛函分析中的反例”

第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面, 20.夏道行,杨亚立

“拓扑线性空间”

不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的化还是看下面几本

21.N.Bourbaki

“Topological Vector Space”Chpt. 1-5

布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了.

在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的

夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙

“泛函分析第二教程”

里面就有一些这方面的内容.

此外还有像

夏道行,严绍宗

“实变函数与泛函分析概要(?)”

(上海科技出的那套教材里面的一本,理图里面有)好像就是按照先积分再测度的办法讲的.

另外用这一体系的书好像还有

F.Riesz,B.Sz.-Nagy

“泛函分析讲义”(Lecons d’analyse fonctionnelle)

这也是不错的书.

对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,”那是真正的测度论”(J.M.Bony).

GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:

22.H.H.Schaefer

Topological Vector Spaces(GTM3)

23.J.L. Kelley, I.. Namioka

Linear Topological Spaces(GTM36)

里面有一章也是讲这东西的.

其它许多以”泛函分析”为标题的书也是以此为出发点的,比如

24.S.K. Berberian

“lectures in Functional Analysis and Operator Theory”(GTM15)

Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的”Noncommutative Geometry”是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.

或者

25.W. Rudin

“Functional Analysis”

这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.

26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov

“Functional Analysis”

不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,中译本的质量也很不错.

此外还有

27..J.B. Conway

“A Course in Functional Analysis”(GTM96)

【在 goliath (朱古力) 的大作中提到: 】

: 不好意思,也许是个傻问题,不过偶还是想问问。

: GTM是什么啊?

这问题不傻,因为在写数学分析,高等代数的时候就提过,所以这里我就没有重复。

GTM=Graduate Texts in Mathematics是Springer-Verlag出的一套数学教材丛书,其中有很多都是人家已经成名的教材它把版权拿过来重印的,因此有一些还是经典著作.现在大概出到第200号左右,前120本世界图书出版公司都是影印的(早期是完全盗版,后来开始买版权了),后面的只有部分影印.

趣味数学故事

转载自:趣味数学故事

 

1、蝴蝶效应

气象学家Lorenz提出一篇论文,名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风?”论述某系统如果初期条件差一点点,结果会很不稳定,他把这种现象戏称做“蝴蝶效应”。就像我们投掷骰子两次,无论我们如何刻意去投掷,两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢?

这故事发生在1961年的某个冬天,他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时,他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据三个内建的微分方程式,计算出下一刻可能的气象数据,因此模拟出气象变化图。

这一天,Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化,他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的后续结果。当时,电脑处理数据资料的数度不快,在结果出来之前,足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时后,结果出来了,不过令他目瞪口呆。结果和原资讯两相比较,初期数据还差不多,越到后期,数据差异就越大了,就像是不同的两笔资讯。而问题并不出在电脑,问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别。所以长期的准确预测天气是不可能的。

参考资料:阿草的葫芦(下册)——远哲科学教育基金会

2、动物中的数学“天才”

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分,所有的锐角为70度32分,这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米,误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞,而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒!而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒!是巧合还是某种大自然的“默契”?

蜘蛛结的“八卦”形网,是既复杂又美丽的八角形几何图案,人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学,因为球形使身体的表面积最小,从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”,它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹,显然是一天“画”一条。奇怪的是,古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们,当时地球一天仅21.9小时,一年不是365天,而是400天。(生活时报)

3、麦比乌斯带

每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge),如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面,使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点,这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转,再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年发现的,自此以后那种带就以他的名字命名,称为麦比乌斯带。有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。

4、数学家的遗嘱

阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱,当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子,我的儿子将继承三分之二的遗产,我的妻子将得三分之一;如果是生女的,我的妻子将继承三分之二 的遗产,我的女儿将得三分之一。”。

而不幸的是,在孩子出生前,这位数学家就去世了。之后,发生的事更困扰大家,他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他的遗嘱内容。

如何遵照数学家的遗嘱,将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢?

5、火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩,先置若干支火柴于桌上,两人轮流取,每次所取的数目可先作一些限制,规定取走最后一根火柴者获胜。

规则一:若限制每次所取的火柴数目最少一根,最多三根,则如何玩才可致胜?

例如:桌面上有n=15根火柴,甲、乙两人轮流取,甲先取,则甲应如何取才能致胜?

为了要取得最后一根,甲必须最后留下零根火柴给乙,故在最后一步之前的轮取中,甲不能留下1根或2根或3根,否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根,则乙不能全取,则不管乙取几根(1或2或3),甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理,若桌上留有8根火柴让乙去取,则无论乙如何取,甲都可使这一次轮取后留下4根火柴,最后也一定是甲获胜。由上之分析可知,甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16…等让乙去取,则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为15,则甲应取3根。(∵15-3=12)若原先桌面上的火柴数为18呢?则甲应先取2根(∵18-2=16)。

规则二:限制每次所取的火柴数目为1至4根,则又如何致胜?

原则:若甲先取,则甲每次取时,须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则:有n支火柴,每次可取1至k支,则甲每次取后所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三:限制每次所取的火柴数目不是连续的数,而是一些不连续的数,如1、3、7,则又该如何玩法?

分析:1、3、7均为奇数,由于目标为0,而0为偶数,所以先取者甲,须使桌上的火柴数为偶数,因为乙在偶数的火柴数中,不可能再取去1、3、7根火柴后获得0,但假使如此也不能保证甲必赢,因为甲对于火柴数的奇或偶,也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇,奇-奇=偶〕,所以每次取后,桌上的火柴数奇偶相反。若开始时是奇数,如17,甲先取,则不论甲取多少(1或3或7),剩下的便是偶数,乙随后又把偶数变成奇数,甲又把奇数回覆到偶数,最后甲是注定为赢家;反之,若开始时为偶数,则甲注定会输。

通则:开局是奇数,先取者必胜;反之,若开局为偶数,则先取者会输。

规则四:限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数,一个偶数)。

分析:如前规则二,若甲先取,则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取,则甲必胜。此外,若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时,甲也可赢得游戏,因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5(若乙取1,甲则取4;若乙取4,则甲取1),最后剩下2根,那时乙只能取1,甲便可取得最后一根而获胜。

通则:若甲先取,则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。 6、韩信点兵

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。

中国有一本数学古书“孙子算经”也有类似的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”

答曰:“二十三”

术曰:“三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得。”

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

张量的基本概念

转载自:张量的基本概念

 

简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二阶张量,而三阶张量则好比立体矩阵,更高阶的张量用图形无法表达。

向量是在一个线性空间中定义的量,当这个线性空间的基变换时,向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。

张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换,或者只是只变换几个,此时,张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量,在实际的符号表达中,就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。

张量其实是一种线性代数,即多重线性代数,从字面上理解,也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。

在流形中,一点的切空间正好同构于一个欧氏空间,也即,与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。

要对流形上张量作微分运算,必须比较流形上相距很近两点的张量的差,这就引出了联络的概念,而联络的概念的引出,需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。

现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行,是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识,最好能掌握抽象代数的概念,进而掌握交换代数的知识。

其实,线性代数是很多现代数学概念的基础,而线性代数的核心就是空间的概念。而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。

现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的,这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。

公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中,则是处处渗透着公理化的思想,读来颇有味道。

应该这样说,是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何比拟

其实,张量是有很强的几何背景的,不管是低阶的,还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。

而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的,这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。

我的朋友有的是搞弹性理论和流体的,但他们对张量的理解也很混乱,所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去,他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关,对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解,而且理解那么深也没用。不过,他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东,我理解起来挺困难的。有时与他们神侃,很是佩服他们的计算机水平,不只对数值计算有极深的造诣,对一个程序如何编译成汇编代码,如何在CPU中执行,操作系统如何对内存处理,那些程序又如何在内存中调度,反正听得多了,我也能侃了。赫赫。尤其他们用java编写的程序,速度与用fortaun编写的速度差不多,太佩服他们了。

本来想用弹性理论中的应力张量作一番解释的。但手头没有弹性理论的书,而且对于应力如何在一个弹性体中给出的,也不太清楚。所以就此作罢了。

但要清楚地一点是,数学中定义的空间,与实际的物理空间,比如定义在一个弹性体上的应力所在的空间,是两码事清。

线性代数被捕,想想还是当时实在不能理解N维空间。三维空间好理解,想象不出N维空间是个什么玩艺儿。

其实程序中经常用数组,一维、二维、三维用惯了,多维照用就是了,根本不用想象它是平的还是方的。

张量就相当那个N维数组。

我也是数学上学习吃力.但我对四维空间最近有了新的几何理解.我认为三维物体,包括所有星体和粒子,都以光速辐射出自身质量,就象把自身的拷贝以光速传送出去一样,产生引力场空间.物质的全部能量以光速辐射后,对周围物体不产生任何作用,因为匀速运动的空间或能量是对物质不产生任何作用的.这样就存在一个光速扩散的似乎与我们无关的辐射空间,即所谓的虚空间,或第四维空间.如果物质还以2倍光速辐射能量和物质,则有第5维空间.依次类推.实空间的真空和物体,都要加速收缩,以弥补辐射损失,从而产生了引力.总之,静止和加速运动的物体和能量,用三维空间的数学来表示;匀速运动的物体和能量,主要是光速空间,用n+3维来表示.不知我的理解是否有道理,请高人指教.

现在,一看到与相对论物理有关的东东,就感觉心烦气躁,细想,一是天资愚钝,二是功力太差。不是我这种人能理解的了得,否则,非得走火入魔。

关于维数,我一直想用通俗的语言解释清楚,一是因为给别人通俗的解释一遍,更能加深自己的理解,做一些总结,对于一个概念,如果能以通俗的语言讲,就表明对它的理解已达到一定的境界了;二是因为有些搞力学的朋友问到我关于维数的问题,但他们又不需要做很深的理论数学的学习,只需要应用数学即可。但是,解释来解释去,还是解释不清楚。前两天,与一位搞音乐的朋友交流,他讲的浅显的东西还是能理解的了得,但是,更深入的,就到云里了。所以,是不是对于一门学科,如果没有很深的基础做支撑,弄明白其中的一些概念,还是挺费劲的。而且,弄明白,往往是出于好奇心,并没有太大的用处。所以,现在还是很矛盾。但,还是经常写一些小散记,以记下对一些基本概念的理解。

其实,维数的概念应该最早出现在几何中(猜得),而在拓扑学中体现的比较严谨和直观。历史上,数学家造出了一个一一映射,能把一维线段内部映为一个正方形里面,难道这说明直线与正方形同维吗?后来才发现,这个一一映射,应该加上连续这个限定词,才能保持维数的不变,这正是同胚的概念。这种概念对于我们来说是很直观的。

后来学习代数几何,它是用“环”、“模”、“群”这些代数工具来研究几何问题。结果,在里面,维数的定义一下子出现了4种,其中,最常用的一种定义是使用一种特殊的“环”定义的。这下子可真摸不着头脑了,后来时间长了,才慢慢琢磨出它们的好处了。那就是,这些概念与定义,更适合与其他分支的交叉,而不是只具备很少现代数学基础的人所能理解的。

而上面提到的n维空间的概念,在几何中是使用公理化的方式定义的。也是经过一段时间的琢磨,才感觉到这种定义方式的优越性的。而要用通俗的语言解释,现在确实非常的难。

数学无穷思想的发展历程

转载自:数学无穷思想的发展历程

 

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇,长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”,因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程

光辉的起点:数学无穷发展的萌芽时期

早在远古时代,无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情,而且远在两千年以前,人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

在我国,著名的《庄子》一书中有言:“一尺之棰,日取其半,而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”,并阐述道:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻,正是以“割圆术”为理论基础,刘徽得出徽率,而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

在国外,早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形,尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练,使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。

由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

首创风波:芝诺悖论

虽说,古人对无穷已有了较深刻认识,然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说,对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。

芝诺,公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。

阿基里斯悖论:跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙,但乙比甲先行一段距离,甲为了赶上乙,须超过乙开始的A点,但甲到了A点,则乙已进到A1点,而当甲再到A1点,则乙又进到A2点,依次类推,直到无穷,两者距离虽越来越近,但甲永远在乙后面而追不上乙。

这显然违背人们常识的芝诺悖论,因与无限问题密切相连,就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

芝诺悖论就这样一直困惑着人们,问题的症结何在呢?

崭新一页:微积分学的诞生

随着时代的发展,实践中提出了越来越多的数学问题,待数学家们加以解决,如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力,需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力,如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩,正是站在这些巨人的肩膀上,牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据,成功运用无限过程的运算,创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊,因而出现了一门崭新的数学分支:数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页,谱写了光辉动人的乐章。

风波再起:贝克莱悖论

通往真理的路总是坎坷不平,布满了艰辛,探求无穷之径更绝非坦途。

十七世纪后期,牛顿、莱布尼兹创立微积分学,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功,然而,微积分学产生伊始,迎来的并非全是掌声,在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年,大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子,在这本小册子中,他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言,它必须既是零,又不是零。而从形式逻辑角度而言,这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论,动摇了人们对微积分正确性的信念,在当时数学界引起了一定混乱,从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。出路在何方?

发明的世纪:十八世纪

微积分产生后,一方面在应用中大获成功,另一方面其自身却存在着逻辑矛盾,即贝克莱悖论,也就是说,正确的(尤其是在几何应用上是惊人的)结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢?

“向前进,向前进,你就会获得信念!”达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角,在此号角的鼓舞下,十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格,论证的不严密,而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。

光辉乐章的不和谐音

微积分产生之初,对基础不牢的指责,以及由此引发的争论,一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪,它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后,数学建筑扩大了,房子盖得更高了,而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的,不严密的工作导致谬误越来越多的局面,不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。

无穷级数S=1-1+1-1+1………到底等于什么?

当时人们认为一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那么岂非0=1?这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解,甚至连被的后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

后,令=-1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!

由此一例,即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题,如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样,消除不谐和音,把分析重新建立在逻辑基础之上就民成为数学家们迫在眉睫的任务。

重建微积分基础

十八世纪富有成果然而欠严谨的工作,导致数学中出现了暂时的混乱局面。到十九世纪,批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1820年研究了极限定义,并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明,使微积分学有了较坚实的理论基础,同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一,他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”,不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ ”方法和函数极限的“ε-δ”方法,把微积分奠基于算术概念的基础上,获得了圆满解决。其二,他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系,这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

康托尔的不朽功绩:向无限冒险迈进

十九世纪,由于众多杰出数学家的努力,微积分工具被改进为严格的分析体系。同时由于严格追问微积分的逻辑,德国数学家康托尔把无穷集合引入词汇,从而发现了无穷集这一数学新词汇,开辟出一个广大而又从未人知的世界。

康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究“收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续”这一事实,提出无穷集合的概念,并以一一对应关系为基本原则,寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势,利用势他将无限集进行了分类,最小的无限集为可数集a,即指与自然数集等势的无穷集。进一步,康托尔证明实数集的势c>a,一切实函数的势f>c,并且对任何一个集合,均可造出一个具有更大势的集合,即是说没有最大的势。鉴于此,1896年康托尔根据无穷性有无穷多学说,制订了无限大算术,对各种无穷大建立了一个完整序列,他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是,直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。所谓楼外有楼,天外有天了。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作,在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言:上帝创造了自然数,其它都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作,称“康托尔走进了超限数的地狱”,更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾。前后经过20余年,康托的工作才最终获世界公认,并赢得极大赞誉。罗素称赞说:“Cantor的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中,无穷集合是被看作一个现实的,完成的,存在着的整体,是可认识,可抓住的东西。他的无穷集合理论令世人耳目一新。

中途的辉煌

极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上,而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来,进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来,实数论的融贯性就归于集合论的融贯性,归结到集合论,看来数学绝对严格的目的要达到了。1900年在世界数学家大会上,著名数学家庞加莱郑重宣布:“现在我们可以说,数学最终的严格性基础已经确立了。”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作,数学家们找到了营造数学大厦的基石:集合论。而他的无穷集合,也就成了数学家们的伊甸园。这样,从微积分诞生之日起,数学家们历经200多年的艰苦努力,终于迎来了辉煌的胜利。

一波三折:罗素悖论的提出及解决

正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉,并陶醉于数学绝对严格性的时候,一个惊人的消息迅速传遍了数学界。

“集合论是有漏洞的!”这就是,1902年,罗素得出的结论。

罗素构造了一个集合U,U由所有不属于自身的集合组成,U显然存在,但U是否属于自身呢?无论回答是否都将导致矛盾,这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明,以致几乎没有什么可以辩驳的余地,然而它却动摇了整个数学大厦的基石:集合论。

“绝对严密”“天衣无缝”的数学,又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已平静的数学水面,因罗素悖论的投入,又一石激起千重浪,令数学家们震惊之余有些惊慌失措,这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机。”

危机是由康托尔研究的无限集合引发的。危机产生后,包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统,使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上,从而避免了罗素悖论的产生,在表层上解决了第三次数学危机。

柳暗花明又一村:无穷小重返数学舞台

17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学,用了无穷小量的概念,但因对其解释含糊不清,出现了贝克莱悖论,导致数学史上的“第二次数学危机”,19世纪,柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论,使微积分理论严格化,从而避免了贝克莱悖论,圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时,极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。

1960年,美国数理逻辑学家A鲁滨逊指出:现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架,无穷小量堂而皇之地重返数坛,成为逻辑上站得住脚的数学中的一员,被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后,第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史,无穷小分析法──极限方法──无穷小分析法,否定之否定,微积分学基础获得了进一步发展。

实无限、潜无限

认真考察无穷在数学中的发展历程,可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念:实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指:“把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)过程。所谓实无限思想是指:把无限的整体本身作为一个现成的单位,是已经构造完成了的东西,换言之,即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。

亚里士多德只承认潜无限,使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后,实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的,在其理论中,无穷小量被看作一个实体,一个对象,正因此,早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用,因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊,导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代,实无限已开始被抛弃了,尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中,随着重建微积分基础工作的完成,无穷小量被拒之于数学大厦之外,无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了,而代之以“无穷是一个逼近的目标,可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中,并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论,使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而,到本世纪六十年代,A鲁滨逊创立的非标准分析,使无穷小量再现光辉,荣归故里,重新堂而皇之的登进数学的殿堂,而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其,在康托尔的无穷集合论中,体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想,这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。

那么,无穷到底是实无限,抑或是潜无限呢?

两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出,各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后,已在现代数学中日趋合流,实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明:用两种不同的无穷思想为据,采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局,意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争,必有一伤”而走向“平分秋色,辉映成趣”了。

当我们上升到哲学高度时,可能会获得对两者关系的更清楚认识。

辩证法告诉我们,要从整体,从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样,看到金一面的说是金盾,见到银一面的说是银盾,而实际上对盾的认识应是“一面是金,一面是银”,数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷,见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限,但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限,又是潜无限”,无穷本身就是一个矛盾体,它既是一个需无限趋近的过程,又是一个实体,一个可研究的对象。在这一矛盾体中,矛盾的一方是实无限,另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面,是对有穷的直接否定,而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定,是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论:实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。──这倒并非是哲学的玄奥思辩,而是辩证法为我们上的生动一课。

结语

“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说,人的认识总是由具体到抽象,而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进,而数学是最具抽象性的学科,这亦足以说明在向无限的迈进中,数学达到的层次是最深入的。并且在数学中,无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起,无穷就如影如随,伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后,数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说:“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。”诚如恩格斯所言,从唯物辩证法角度来看,数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃,就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限,而极限过程就是无限过程。因此可以说,微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑,另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。

然而“无穷既是人类最伟大的朋友,也是人类心灵宁静的最大敌人。”(希尔伯特语)因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中,我们已经看到征服无穷的路途中,悖论是一次次出现:芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说,历经几百年,数代数学家的艰苦努力,建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除,矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白:任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知!经过一代代人的努力,人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度!

各种数学理论的不足之处

转载自:http://qiusuoge.com/434.html

 

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇,长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”,因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程

光辉的起点:数学无穷发展的萌芽时期

早在远古时代,无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情,而且远在两千年以前,人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

在我国,著名的《庄子》一书中有言:“一尺之棰,日取其半,而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”,并阐述道:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻,正是以“割圆术”为理论基础,刘徽得出徽率,而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

在国外,早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形,尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练,使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。

由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

首创风波:芝诺悖论

虽说,古人对无穷已有了较深刻认识,然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说,对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。

芝诺,公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。

阿基里斯悖论:跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙,但乙比甲先行一段距离,甲为了赶上乙,须超过乙开始的A点,但甲到了A点,则乙已进到A1点,而当甲再到A1点,则乙又进到A2点,依次类推,直到无穷,两者距离虽越来越近,但甲永远在乙后面而追不上乙。

这显然违背人们常识的芝诺悖论,因与无限问题密切相连,就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

芝诺悖论就这样一直困惑着人们,问题的症结何在呢?

崭新一页:微积分学的诞生

随着时代的发展,实践中提出了越来越多的数学问题,待数学家们加以解决,如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力,需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力,如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩,正是站在这些巨人的肩膀上,牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据,成功运用无限过程的运算,创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊,因而出现了一门崭新的数学分支:数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页,谱写了光辉动人的乐章。

风波再起:贝克莱悖论

通往真理的路总是坎坷不平,布满了艰辛,探求无穷之径更绝非坦途。

十七世纪后期,牛顿、莱布尼兹创立微积分学,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功,然而,微积分学产生伊始,迎来的并非全是掌声,在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年,大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子,在这本小册子中,他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言,它必须既是零,又不是零。而从形式逻辑角度而言,这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论,动摇了人们对微积分正确性的信念,在当时数学界引起了一定混乱,从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。出路在何方?

发明的世纪:十八世纪

微积分产生后,一方面在应用中大获成功,另一方面其自身却存在着逻辑矛盾,即贝克莱悖论,也就是说,正确的(尤其是在几何应用上是惊人的)结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢?

“向前进,向前进,你就会获得信念!”达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角,在此号角的鼓舞下,十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格,论证的不严密,而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。

光辉乐章的不和谐音

微积分产生之初,对基础不牢的指责,以及由此引发的争论,一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪,它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后,数学建筑扩大了,房子盖得更高了,而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的,不严密的工作导致谬误越来越多的局面,不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。

无穷级数S=1-1+1-1+1………到底等于什么?

当时人们认为一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那么岂非0=1?这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解,甚至连被的后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

后,令=-1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!

由此一例,即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题,如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样,消除不谐和音,把分析重新建立在逻辑基础之上就民成为数学家们迫在眉睫的任务。

重建微积分基础

十八世纪富有成果然而欠严谨的工作,导致数学中出现了暂时的混乱局面。到十九世纪,批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1820年研究了极限定义,并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明,使微积分学有了较坚实的理论基础,同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一,他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”,不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ ”方法和函数极限的“ε-δ”方法,把微积分奠基于算术概念的基础上,获得了圆满解决。其二,他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系,这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

康托尔的不朽功绩:向无限冒险迈进

十九世纪,由于众多杰出数学家的努力,微积分工具被改进为严格的分析体系。同时由于严格追问微积分的逻辑,德国数学家康托尔把无穷集合引入词汇,从而发现了无穷集这一数学新词汇,开辟出一个广大而又从未人知的世界。

康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究“收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续”这一事实,提出无穷集合的概念,并以一一对应关系为基本原则,寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势,利用势他将无限集进行了分类,最小的无限集为可数集a,即指与自然数集等势的无穷集。进一步,康托尔证明实数集的势c>a,一切实函数的势f>c,并且对任何一个集合,均可造出一个具有更大势的集合,即是说没有最大的势。鉴于此,1896年康托尔根据无穷性有无穷多学说,制订了无限大算术,对各种无穷大建立了一个完整序列,他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是,直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。所谓楼外有楼,天外有天了。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作,在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言:上帝创造了自然数,其它都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作,称“康托尔走进了超限数的地狱”,更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾。前后经过20余年,康托的工作才最终获世界公认,并赢得极大赞誉。罗素称赞说:“Cantor的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中,无穷集合是被看作一个现实的,完成的,存在着的整体,是可认识,可抓住的东西。他的无穷集合理论令世人耳目一新。

中途的辉煌

极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上,而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来,进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来,实数论的融贯性就归于集合论的融贯性,归结到集合论,看来数学绝对严格的目的要达到了。1900年在世界数学家大会上,著名数学家庞加莱郑重宣布:“现在我们可以说,数学最终的严格性基础已经确立了。”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作,数学家们找到了营造数学大厦的基石:集合论。而他的无穷集合,也就成了数学家们的伊甸园。这样,从微积分诞生之日起,数学家们历经200多年的艰苦努力,终于迎来了辉煌的胜利。

一波三折:罗素悖论的提出及解决

正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉,并陶醉于数学绝对严格性的时候,一个惊人的消息迅速传遍了数学界。

“集合论是有漏洞的!”这就是,1902年,罗素得出的结论。

罗素构造了一个集合U,U由所有不属于自身的集合组成,U显然存在,但U是否属于自身呢?无论回答是否都将导致矛盾,这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明,以致几乎没有什么可以辩驳的余地,然而它却动摇了整个数学大厦的基石:集合论。

“绝对严密”“天衣无缝”的数学,又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已平静的数学水面,因罗素悖论的投入,又一石激起千重浪,令数学家们震惊之余有些惊慌失措,这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机。”

危机是由康托尔研究的无限集合引发的。危机产生后,包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统,使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上,从而避免了罗素悖论的产生,在表层上解决了第三次数学危机。

柳暗花明又一村:无穷小重返数学舞台

17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学,用了无穷小量的概念,但因对其解释含糊不清,出现了贝克莱悖论,导致数学史上的“第二次数学危机”,19世纪,柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论,使微积分理论严格化,从而避免了贝克莱悖论,圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时,极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。

1960年,美国数理逻辑学家A鲁滨逊指出:现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架,无穷小量堂而皇之地重返数坛,成为逻辑上站得住脚的数学中的一员,被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后,第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史,无穷小分析法──极限方法──无穷小分析法,否定之否定,微积分学基础获得了进一步发展。

实无限、潜无限

认真考察无穷在数学中的发展历程,可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念:实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指:“把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)过程。所谓实无限思想是指:把无限的整体本身作为一个现成的单位,是已经构造完成了的东西,换言之,即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。

亚里士多德只承认潜无限,使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后,实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的,在其理论中,无穷小量被看作一个实体,一个对象,正因此,早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用,因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊,导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代,实无限已开始被抛弃了,尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中,随着重建微积分基础工作的完成,无穷小量被拒之于数学大厦之外,无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了,而代之以“无穷是一个逼近的目标,可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中,并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论,使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而,到本世纪六十年代,A鲁滨逊创立的非标准分析,使无穷小量再现光辉,荣归故里,重新堂而皇之的登进数学的殿堂,而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其,在康托尔的无穷集合论中,体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想,这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。

那么,无穷到底是实无限,抑或是潜无限呢?

两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出,各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后,已在现代数学中日趋合流,实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明:用两种不同的无穷思想为据,采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局,意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争,必有一伤”而走向“平分秋色,辉映成趣”了。

当我们上升到哲学高度时,可能会获得对两者关系的更清楚认识。

辩证法告诉我们,要从整体,从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样,看到金一面的说是金盾,见到银一面的说是银盾,而实际上对盾的认识应是“一面是金,一面是银”,数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷,见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限,但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限,又是潜无限”,无穷本身就是一个矛盾体,它既是一个需无限趋近的过程,又是一个实体,一个可研究的对象。在这一矛盾体中,矛盾的一方是实无限,另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面,是对有穷的直接否定,而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定,是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论:实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。──这倒并非是哲学的玄奥思辩,而是辩证法为我们上的生动一课。

结语

“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说,人的认识总是由具体到抽象,而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进,而数学是最具抽象性的学科,这亦足以说明在向无限的迈进中,数学达到的层次是最深入的。并且在数学中,无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起,无穷就如影如随,伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后,数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说:“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。”诚如恩格斯所言,从唯物辩证法角度来看,数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃,就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限,而极限过程就是无限过程。因此可以说,微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑,另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。

然而“无穷既是人类最伟大的朋友,也是人类心灵宁静的最大敌人。”(希尔伯特语)因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中,我们已经看到征服无穷的路途中,悖论是一次次出现:芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说,历经几百年,数代数学家的艰苦努力,建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除,矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白:任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知!经过一代代人的努力,人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度!

MIT牛人解说数学体系[转载]

转载自:http://qiusuoge.com/4206.html

 

在过去的一年中,我一直在数学的海洋中游荡,research进展不多,对于数学世界的阅历算是有了一些长进。

为什么要深入数学的世界

作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的,是要想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来,我在刚来这个学校的时候,并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目,是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上,使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework,在近年的论文中并不少见。

我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病,那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上,开始的时候,我也是和Vision中很多人一样,想着去做一个Graphical Model——我的导师指出,这样的做法只是重复一些标准的流程,并没有很大的价值。经过很长时间的反复,另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信,一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的,原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动,和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。

在深入探索这个题目的过程中,遇到了很多很多的问题,如何描述一个一般的运动过程,如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达,如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系,还有很多。在这个过程中,我发现了两个事情:

我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
在数学中,有很多思想和工具,是非常适合解决这些问题的,只是没有被很多的应用科学的研究者重视。
于是,我决心开始深入数学这个浩瀚大海,希望在我再次走出来的时候,我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。

我的游历并没有结束,我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里,我只是说说,在我的眼中,数学如何一步步从初级向高级发展,更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。

集合论:现代数学的共同基础

现代数学有数不清的分支,但是,它们都有一个共同的基础——集合论——因为它,数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念:集合(set),关系(relation),函数(function),等价(equivalence),是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解,是进一步学些别的数学的基础。我相信,理工科大学生对于这些都不会陌生。

不过,有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理”(Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合,一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过,这个貌似平常的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论,比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球,能分成五个部分,对它们进行一系列刚性变换(平移旋转)后,能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论,导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在,主流数学家对于它应该是基本接受的,因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面,下面的定理依赖于选择公理:

拓扑学:Baire Category Theorem

实分析(测度理论):Lebesgue 不可测集的存在性
泛函分析四个主要定理:Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem
在集合论的基础上,现代数学有两大家族:分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的,比如几何和概率论,在古典数学时代,它们是和代数并列的,但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上,因此从现代意义说,它们和分析与代数并不是平行的关系。

分析:在极限基础上建立的宏伟大厦

微积分:分析的古典时代——从牛顿到柯西
先说说分析(Analysis)吧,它是从微积分(Caculus)发展起来的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。不过,分析的范畴远不只是这些,我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究的对象很多,包括导数(derivatives),积分(integral),微分方程(differential equation),还有级数(infinite series)——这些基本的概念,在初等的微积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中,那就是极限——这是整个分析(不仅仅是微积分)的灵魂。

一个很多人都听说过的故事,就是牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)关于微积分发明权的争论。事实上,在他们的时代,很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中,但是,微积分的基础并没有真正建立。那个长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵,困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。直到柯西用数列极限的观点重新建立了微积分的基本概念,这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天,整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。

柯西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言,但是他并没有解决微积分的全部问题。在19世纪的时候,分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积分课本中学到的那种通过“无限分割区间,取矩阵面积和的极限”的积分,是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的,叫做黎曼积分。但是,什么函数存在黎曼积分呢(黎曼可积)?数学家们很早就证明了,定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。可是,这样的结果并不令人满意,工程师们需要对分段连续函数的函数积分。

实分析:在实数理论和测度理论上建立起现代分析
在19世纪中后期,不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在闭区间上的黎曼积分的研究发现,可积性的关键在于“不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的,可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的可积函数。显然,在衡量点集大小的时候,有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个问题的过程中,数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。在极限思想的支持下,实数理论在这个时候被建立起来,它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理(确界定理,区间套定理,柯西收敛定理,Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等)——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别:完备性(很不严格的说,就是对极限运算封闭)。随着对实数认识的深入,如何测量“点集大小”的问题也取得了突破,勒贝格创造性地把关于集合的代数,和Outer content(就是“外测度”的一个雏形)的概念结合起来,建立了测度理论(Measure Theory),并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。在这个新的积分概念的支持下,可积性问题变得一目了然。

上面说到的实数理论,测度理论和勒贝格积分,构成了我们现在称为实分析(Real Analysis)的数学分支,有些书也叫实变函数论。对于应用科学来说,实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且,它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数,或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中,并不现实。但是,我认为,它并不是一种纯数学概念游戏,它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。下面,我仅仅列举几条它的用处:

黎曼可积的函数空间不是完备的,但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的说,一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的,但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析,还有逼近理论中,经常需要讨论“函数的极限”,或者“函数的级数”,如果用黎曼积分的概念,这种讨论几乎不可想像。我们有时看一些paper中提到Lp函数空间,就是基于勒贝格积分。
勒贝格积分是傅立叶变换(这东西在工程中到处都是)的基础。很多关于信号处理的初等教材,可能绕过了勒贝格积分,直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础,但是,对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。
在下面,我们还会看到,测度理论是现代概率论的基础。

拓扑学:分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础

随着实数理论的建立,大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实上,很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来,推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广,促成了点集拓扑学(Point-set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念,被提取出来,进行一般性的讨论。在拓扑学里面,有4个C构成了它的核心:

Closed set(闭集合)。在现代的拓扑学的公理化体系中,开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广,它们的根本地位,并不是一开始就被认识到的。经过相当长的时间,人们才认识到:开集的概念是连续性的基础,而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。
Continuous function (连续函数)。连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义,在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第一个是等价的,只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为,它的第三个(等价)定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数”——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限, 那么如果 f 是连续函数,那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。连续函数的重要性,可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中,基础的运算是“乘法”,对于群,最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的映射。在分析中,基础运算是“极限”,因此连续函数在分析中的地位,和同态映射在代数中的地位是相当的。
Connected set (连通集合)。比它略为窄一点的概念叫(Path connected),就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来,连通性有两个重要的用场:一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem),还有就是代数拓扑,拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。
Compact set(紧集)。Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现,不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如,“有界数列必然存在收敛子列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便,它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说,用得更多的是它的另一种形式——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广,无法尽述。微积分中的两个重要定理:极值定理(Extreme Value Theory),和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。
从某种意义上说,点集拓扑学可以看成是关于“极限”的一般理论,它抽象于实数理论,它的概念成为几乎所有现代分析学科的通用语言,也是整个现代分析的根基所在。

微分几何:流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构

拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间,但这不是故事的结束,而仅仅是开始。在微积分里面,极限之后我们有微分,求导,积分。这些东西也可以推广到拓扑空间,在拓扑学的基础上建立起来——这就是微分几何。从教学上说,微分几何的教材,有两种不同的类型,一种是建立在古典微机分的基础上的“古典微分几何”,主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算,比如曲率。还有一种是建立在现代拓扑学的基础上,这里姑且称为“现代微分几何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓扑空间的基础上加了一套可以进行微分运算的结构。现代微分几何是一门非常丰富的学科。比如一般流形上的微分的定义就比传统的微分丰富,我自己就见过三种从不同角度给出的等价定义——这一方面让事情变得复杂一些,但是另外一个方面它给了同一个概念的不同理解,往往在解决问题时会引出不同的思路。除了推广微积分的概念以外,还引入了很多新概念:tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近些年,流形在machine learning似乎相当时髦。但是,坦率地说,要弄懂一些基本的流形算法, 甚至“创造”一些流形算法,并不需要多少微分几何的基础。对我的研究来说,微分几何最重要的应用就是建立在它之上的另外一个分支:李群和李代数——这是数学中两大家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析,以及在其基础上的调和分析。

代数:一个抽象的世界

关于抽象代数
回过头来,再说说另一个大家族——代数。

如果说古典微积分是分析的入门,那么现代代数的入门点则是两个部分:线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)——据说国内一些教材称之为近世代数。

代数——名称上研究的似乎是数,在我看来,主要研究的是运算规则。一门代数,其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则,建立一个公理体系,然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则,就构成一个代数结构。在主要的代数结构中,最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算,通常叫“乘法”。如果,这种运算也符合交换率,那么就叫阿贝尔群(Abelian Group)。如果有两种运算,一种叫加法,满足交换率和结合率,一种叫乘法,满足结合率,它们之间满足分配率,这种丰富一点的结构叫做环(Ring),如果环上的乘法满足交换率,就叫可交换环(Commutative Ring)。如果,一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质,那么就成为一个域(Field)。基于域,我们可以建立一种新的结构,能进行加法和数乘,就构成了线性代数(Linear algebra)。

代数的好处在于,它只关心运算规则的演绎,而不管参与运算的对象。只要定义恰当,完全可以让一只猫乘一只狗得到一头猪:-)。基于抽象运算规则得到的所有定理完全可以运用于上面说的猫狗乘法。当然,在实际运用中,我们还是希望用它干点有意义的事情。学过抽象代数的都知道,基于几条最简单的规则,比如结合律,就能导出非常多的重要结论——这些结论可以应用到一切满足这些简单规则的地方——这是代数的威力所在,我们不再需要为每一个具体领域重新建立这么多的定理。

抽象代数有在一些基础定理的基础上,进一步的研究往往分为两个流派:研究有限的离散代数结构(比如有限群和有限域),这部分内容通常用于数论,编码,和整数方程这些地方;另外一个流派是研究连续的代数结构,通常和拓扑与分析联系在一起(比如拓扑群,李群)。我在学习中的focus主要是后者。

线性代数:“线性”的基础地位

对于做Learning, vision, optimization或者statistics的人来说,接触最多的莫过于线性代数——这也是我们在大学低年级就开始学习的。线性代数,包括建立在它基础上的各种学科,最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位,和连续函数在分析中的地位,或者同态映射在群论中的地位是一样的——它是保持基础运算(加法和数乘)的映射。

在learning中有这样的一种倾向——鄙视线性算法,标榜非线性。也许在很多场合下面,我们需要非线性来描述复杂的现实世界,但是无论什么时候,线性都是具有根本地位的。没有线性的基础,就不可能存在所谓的非线性推广。我们常用的非线性化的方法包括流形和kernelization,这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射,通过把许多局部线性空间连接起来形成非线性;而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间,再进行线性空间中所能进行的操作。而在分析领域,线性的运算更是无处不在,微分,积分,傅立叶变换,拉普拉斯变换,还有统计中的均值,通通都是线性的。

泛函分析:从有限维向无限维迈进

在大学中学习的线性代数,它的简单主要因为它是在有限维空间进行的,因为有限,我们无须借助于太多的分析手段。但是,有限维空间并不能有效地表达我们的世界——最重要的,函数构成了线性空间,可是它是无限维的。对函数进行的最重要的运算都在无限维空间进行,比如傅立叶变换和小波分析。这表明了,为了研究函数(或者说连续信号),我们需要打破有限维空间的束缚,走入无限维的函数空间——这里面的第一步,就是泛函分析。

泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的线性空间,包括有限维和无限维,但是很多东西在有限维下显得很trivial,真正的困难往往在无限维的时候出现。在泛函分析中,空间中的元素还是叫向量,但是线性变换通常会叫作“算子”(operator)。除了加法和数乘,这里进一步加入了一些运算,比如加入范数去表达“向量的长度”或者“元素的距离”,这样的空间叫做“赋范线性空间”(normed space),再进一步的,可以加入内积运算,这样的空间叫“内积空间”(Inner product space)。

大家发现,当进入无限维的时间时,很多老的观念不再适用了,一切都需要重新审视。

所有的有限维空间都是完备的(柯西序列收敛),很多无限维空间却是不完备的(比如闭区间上的连续函数)。在这里,完备的空间有特殊的名称:完备的赋范空间叫巴拿赫空间(Banach space),完备的内积空间叫希尔伯特空间(Hilbert space)。
在有限维空间中空间和它的对偶空间的是完全同构的,而在无限维空间中,它们存在微妙的差别。
在有限维空间中,所有线性变换(矩阵)都是有界变换,而在无限维,很多算子是无界的(unbounded),最重要的一个例子是给函数求导。
在有限维空间中,一切有界闭集都是紧的,比如单位球。而在所有的无限维空间中,单位球都不是紧的——也就是说,可以在单位球内撒入无限个点,而不出现一个极限点。
在有限维空间中,线性变换(矩阵)的谱相当于全部的特征值,在无限维空间中,算子的谱的结构比这个复杂得多,除了特征值组成的点谱(point spectrum),还有approximate point spectrum和residual spectrum。虽然复杂,但是,也更为有趣。由此形成了一个相当丰富的分支——算子谱论(Spectrum theory)。
在有限维空间中,任何一点对任何一个子空间总存在投影,而在无限维空间中,这就不一定了,具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。这个概念是现代逼近理论的基础(approximation theory)。函数空间的逼近理论在Learning中应该有着非常重要的作用,但是现在看到的运用现代逼近理论的文章并不多。

继续往前:巴拿赫代数,调和分析,和李代数

基本的泛函分析继续往前走,有两个重要的方向。第一个是巴拿赫代数(Banach Algebra),它就是在巴拿赫空间(完备的内积空间)的基础上引入乘法(这不同于数乘)。比如矩阵——它除了加法和数乘,还能做乘法——这就构成了一个巴拿赫代数。除此以外,值域完备的有界算子,平方可积函数,都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的抽象,很多对于有界算子导出的结论,还有算子谱论中的许多定理,它们不仅仅对算子适用,它们其实可以从一般的巴拿赫代数中得到,并且应用在算子以外的地方。巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分析中的结论,但是,我对它在实际问题中能比泛函分析能多带来什么东西还有待思考。

最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析(Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域,傅立叶分析和小波分析,我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题,不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波,调和分析还研究一些很有用的函数空间,比如Hardy space,Sobolev space,这些空间有很多很好的性质,在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说,调和分析在信号的表达,图像的构造,都是非常有用的工具。

当分析和线性代数走在一起,产生了泛函分析和调和分析;当分析和群论走在一起,我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学:在一个体系中,拓扑,微分和代数走到了一起。在一定条件下,通过李群和李代数的联系,它让几何变换的结合变成了线性运算,让子群化为线性子空间,这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动的建模创造了必要的条件。因此,我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义,只不过学习它的道路可能会很艰辛,在它之前需要学习很多别的数学。

现代概率论:在现代分析基础上再生

最后,再简单说说很多Learning的研究者特别关心的数学分支:概率论。自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来,测度理论就成为现代概率论的基础。在这里,概率定义为测度,随机变量定义为可测函数,条件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影,均值则是可测函数对于概率测度的积分。值得注意的是,很多的现代观点,开始以泛函分析的思路看待概率论的基础概念,随机变量构成了一个向量空间,而带符号概率测度则构成了它的对偶空间,其中一方施加于对方就形成均值。角度虽然不一样,不过这两种方式殊途同归,形成的基础是等价的。

在现代概率论的基础上,许多传统的分支得到了极大丰富,最有代表性的包括鞅论(Martingale)——由研究赌博引发的理论,现在主要用于金融(这里可以看出赌博和金融的理论联系,:-P),布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础,以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus),包括随机积分(对随机过程的路径进行积分,其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)),和随机微分方程。对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。