我国科学殿堂弦/圈量子引力研究线路图

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我国科学殿堂弦/圈量子引力研究线路图

习强 转载

据2009年中国科学院院士增选初步候选人名单,弦/圈量子研究著名学者李淼、李新洲等榜上有名,我们向他们表示祝贺。

1、据一位朋友告诉我们,正确的科学研究道路很重要;他参加的2009年8月上旬北师大圈引力(loop)会议,感到加拿大圆周物理研究所的学者,用扭量理论构造微观粒子拓扑形态的假说模型,与我们的三旋密码的论证类似,然而出发点与结论却不相同。他请教过国内圈引力学者,认为上述扭量模型的探索可取,但未必能得到可计算的有效结论,特别是能否进行费曼路径积分是个没有解决的大难题。关于loop理论,有人说到现在20年的发展,,已经造就了几个中心:一个是加拿大的圆周研究所(PI)。PI的核心人物是lee smolin,smoli(斯莫林),他写了一本科普书《通往量子引力的三条路途》。他的前妻,做物理能象做菜一样的马可波罗-芙荑妮,他们已经分手了;但分手之后,他们的爱情故事被圈内人关注。芙荑妮有了新的男朋友;smolin好象也有了新的妻。.所以当2个人坐在一起,在饭桌上聊天,谈笑风声,其实内心有万千头绪。smolin已经50出头,前妻30出头,这一对旧人,随着时间流淌。另外的一个是法国的Rovelli组,一个是美国的ashtekar组,还有就是波兰的lewandowski组,还有就是德国的thiemann组,风头最健.。

2、有人说,在中国对圈量子引力理论,做出突出贡献的有北京师范大学马永革,江汉大学邵丹,南昌大学凌意等分别领导的小组。他们所取得的成果为国内之翘楚,且深受国际学术界瞩目。其中我们来看马永革教授的学习经历,马永革博士生导师讲授的课程是:微分几何与广义相对论,纤维丛与经典场,非微扰量子引力。 1987. 9-1991. 7:东北大学物理系本科,获学士学位。 1993. 9-1996. 7:北京师范大学物理系研究生,获硕士学位;研究方向:引力与广义相对论。 1996. 9-1999. 7:北京师范大学物理系博士生,获博士学位;研究方向:引力与广义相对论;导师:梁灿彬教授。 1999.11-2001. 1:阿根廷科尔多瓦大学 (Universidad Nacional de Cordoba) 博士后;研究方向:量子引力与广义相对论。 2001. 1-2001. 8:美国宾州州立大学引力与几何中心 (CGPG, Penn State University) 博士后;研究方向:(非微扰)圈量子引力。其次是武汉市江汉大学的邵丹教授,湖北大学邵常贵教授,武汉科技大学的邵亮教授,他们在做圈量子引力方面有很多年,也有不少成果。

3、有人说,中央财经大学的冯波教授,1994年和1997年分别获得北京大学理学学士和硕士学位,2002年获得麻省理工学院物理学博士学位;他的主要研究领域,则是弦论,振幅计算等。做弦论著名的李淼教授,他的经历是,1982年毕业于北京大学物理系,1984年在中国科学技术大学获理学硕士学位,1990年在哥本哈根大学玻尔研究所获得博士学位。先后在美国加州大学圣巴巴娜分校、布朗大学、芝加哥大学做博士后研究员和研究助理教授。1999年回国,任中国科学院理论物理研究所研究员、博士生导师,曾任台湾大学客座教授、中国科学技术大学客座教授。李淼博士是研究量子场论、超弦理论以及宇宙学。在超弦理论中的研究有一定的国际影响,特别是在两维刘维尔理论、D膜以及黑洞的量子物理等方面。最近致力于研究超弦中的黑洞物理、超弦宇宙学以及暗能量。最近五年的主要工作有:(1)不稳定膜的衰变。李淼和两位合作者在2002年夏完成的不稳定膜辐射引力子和其他粒子的计算开创了这方面的研究。其他人后来计算了辐射有质量的弦和低维(如2维)弦论中的膜的辐射。(2)用时空测不准解释微波背景辐射谱和暴涨宇宙。李淼和他的学生研究了弦论中,时空测不准带来的对微波背景辐射功率谱的影响,发现谱指数的跑动可以用非对易暴涨模型来解释。最近,他在考虑一个长弦驱动暴涨的模型。(3)李淼的全息暗能量模型,是第一个可以用来拟合实验数据的基于全息原理的暗能量模型。(4)李淼的宇宙学矩阵模型,涉及如何解决随着时间变化背景之下的弦论研究。(5)李淼的弱引力猜想,涉及弦论真空能不能实现甚至“预言”粒子物理标准模型以及其中的参数数值和一些宇宙学参数。为了对弦论的预言范围作出限制,最近Arni-Hamed等人提出弱引力猜测,在某种意义上,引力与任何其他规范长程力相比总是最弱的力。李淼的研究则指出,将一个4维理论下降到低维,这个猜测很容易得到一些简单的证明。并且将这个猜想推广到有正的宇宙学常数(暗能量)情形,并提出了一个新的猜想:一个标量场的耦合常数也会受到弱引力的限制。

4、有人说,由于众所周知的如层子理论等原因,中国错过了60年末70年代初弦论研究的第一次热潮,但少数理论家如张宗燧和戴元本等人研究了S矩阵和色散理论。层子中的矩阵和色散等理论,是否可变相说成是弦论不说,为什么要研究引力量子化,或为什么引力也需要遵从量子力学规则?如说引力可能像热力学那样,是一种宏观理论,从而可以规避量子力学,类似从流体的分子原子理论出发,导出流体力学的基本方程,这些方程完全是宏观的,其中很多物理量只是宏观概念,例如密度、粘滞系数。但 如将引力场放在一个空腔里,给一个经典波长截断能量是,为了避免这些能量塌缩形成黑洞,得取空腔体积是可观则宇宙的大小,则有温度越高,截断波数越小,也就是说截断波长越大。由此可见,假如引力无须量子化,那么引力的波长不能太小,和引力实验所能达到的最小尺度矛盾。中国对量子引力的研究开始于文革末期,主要代表是引力的规范理论的研究,这是那时一个不完全名单。北京:陆启铿,郭汉英、吴咏时,张元仲、安英、陈时、邹振隆、黄鹏,李根道,张历宁;兰州:段一士;合肥:闫沐霖;西安:侯伯宇。几年后,中国学者闫沐霖研究了带挠率的规范引力的Feynman规则和量子化。稍后,周光召和吴岳良还尝试用规范理论统一包括引力在内的所有相互作用。但中国人在早期对弦论并无直接贡献,中国人开始注意弦论,是在弦论的第一次革命中。当时中科院理论所的朱重远老师,开始支持研究弦论,他的学生熊传胜和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作,在数学界有很大影响。但后来熊传胜离开了弦论。 浙江大学的汪容老师也带研究弦论的学生,包括虞跃先生。虞跃后来也离开了弦论。复旦大学倪光炯的学生陈伟,也是早期研究弦论的有数的人之一,后来也离开弦论了。 西北大学带出了如陈一新等人,北京的研究生院出的朱传界一人,也很有成就。而超弦第二次革命来得突然,也使得很多国内的人对所谓超弦革命持怀疑态度,似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印度发生了什么。超弦的背景深藏于超对称、超引力、K-K理论,还有T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性、S-对偶的猜测等工作。
1984年和1985年弦论的第一次革命超弦在中国引发研究热潮,卷入超弦理论研究的一个同样不完全的名单是:戴元本、郭汉英、朱重远、黄朝商(理论物理研究所);汤拒非(科学院研究生院);宋行长、赵志勇、章德海(北京大学);汪容(浙江大学);侯伯宇、侯伯元、王佩(西北大学)。学生们包括:朱传界(研究生院);吴可、吴岳良、谢彦波、熊传胜(理论物理研究所);李淼、高洪波、高怡泓、卢建新(中国科学技术大学);虞跃、沈建民、徐开文、胡宏亮(浙江大学);陈伟(复旦大学);陈一新、岳瑞红(西北大学)。例如,1985年在国内,除中科院理论所外,还有中科院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始注意弦论,西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。中科大的李淼、高洪波、高怡泓等几个研究生,也对中国的弦论做了一些事情,而被称为科大的“三剑客”。后来高洪波离开了弦论,现在在加拿大已是一个很成功的金融界人士了。在科大,独立於“三剑客”,后来对中国弦论界的贡献也很有成就的是卢建新。再往后,弦论在中国越来越不受重视,就很少出人了。中科院理论所吴可老师的学生陈斌和现在理论所的研究员喻明,都是从国外“深加工”回来的。总之,从1984年到80年代末,中国理论界培养了一批年轻人。这些人现在是中国研究弦论、引力和宇宙学的主要力量,部分人则跨入其他领域。
从80年代底到90年代中期,西方的弦论研究进入低潮。相应地,在中国,弦论的研究几乎完全消失,宇宙学研究的热潮远远没有开始。1994、95年,在西方发生了弦论第二次革命,西方之外还包括印度。Ashoke Sen坚持研究弦论中强耦合/弱耦合对偶数年,94年得到Seiberg和Witten的重视,后者关于超对称规范场论的工作轰动了整个理论界。1995年,Witten发表了关于弦论的强弱对偶的文章,弦论的第二次革命开始进入高潮。到了1997年、98年,中国的弦论研究开始复苏。可惜的是,整个90年代,学生们几乎脱离了弦论研究,几乎没有人能够立刻进入弦论和M理论的主流研究。到了21世纪,中国才真正介入了弦论研究的主流。现在,几乎每年都有弦论方面的人回国,而我国自己培养出越来越多的年轻弦论研究者,有的在国际上已经初露锋芒。

5、有人说,第二次革命引起的弦论研究的多元化:对偶,M 理论,膜,黑洞,非微扰量子场论,AdS/CFT,AdS/QCD,AdS/CMT。特别是AdS/CMT,是目前大有潜力的研究方向,这里CMT指的是凝聚态理论。通过全息原理,一些强耦合系统等价于一个高维的引力系统,这个方向很有可能带来凝聚态理论研究的突破。宇宙学的研究也非常丰富,一些研究方向有:暴涨理论,暗能量,膜宇宙,宇宙弦,非高斯性。在所有这些方向上,中国人都作出了一些不俗的成绩。
而且和上世纪80年代完全不同,除中科院理论物理所和高能物理所,中国科学技术大学,北京大学,复旦大学,浙江大学,北京师范大学,西北大学,南开大学,宁波大学,南昌大学,南京大学,成都电子科大,中央财经大学等也很活跃,研究也非常多元化。但和美国相比,中国的理论研究当然还很弱—-大多数单位只有一个人,还没有特别原创性的工作。当然未来也不需要完全跟着西方的主流跑,日本人和印度人做得就很好。而且今后粒子物理和宇宙学实验,对发展弦论、量子引力将起决定性的作用。

6、有人说,这是一场战争,就是在弦理论和圈理论之间也是这样的,你需要不断地“杀死”别人才能保全自自。.在圈理论(loop)面前,敌人就是弦理论(string),潜在的盟友是扭量理论(twistor.)。但它们又全出身于广义相对论。相对论很优美,这可以从彭罗斯的《旋量和时空》看出来.,经典广义相对论已经被彭罗斯终结,但还剩下一些比如准局部能量的问题,这些问题的背后会给物理学一个新的刺激。

内空间之形——卡丘空间介绍

弦理论认为,自然界的基本粒子和基本作用力是极小微小的“弦”振动的结果,人类生活在有十维空间的宇宙中,但日常生活中只能感知四维空间,另外六维空间则以奇妙结构卷藏在宇宙中,这个结构就是被几何学家丘成桐证明的“卡拉比-丘流形”。在THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)一书中,丘成桐介绍了理解他的工作所需要的数学,也介绍了这项证明在数学和物理学领域的巨大影响。他最后问道,这一发现是否预示着宇宙的命运和几何学自身的命运?

大约在公元前387年,希腊哲学家柏拉图在雅典创办了一所以希腊英雄阿卡德米(Academy)命名的学院,这是世界上第一所研究型大学。柏拉图认为几何学研究是通向认识宇宙本质的道路,他在学院的大门上方篆刻了一条戒律:“不懂几何者请勿入内。”

1969年9月,20岁的丘成桐从香港来到美国,成为加州大学伯克利分校的一名研究生。在这里,他第一次听说爱因斯坦的重力理论。“当得知重力和曲面被当做是同一回事的观点后,我被震惊了。因为在香港上大学时,我已经着迷于曲面的研究,我只是本能地对这些曲面感兴趣,我不知道为什么,但我从来没有停止过对它们的思考。在得知曲面是爱因斯坦广义相对论的基础时,我想,有一天,我会以某种方式为认识我们身在其中的宇宙作出贡献。”他在书中写道。

1976年,27岁的丘成桐证明卡拉比猜想,并因此获得1983年的菲尔茨奖。他说:“自从1983年,‘卡拉比-丘流形’刻入菲尔茨奖章后,我几乎感到卡拉比仿佛成了我的名字,如果在公众心中这是我的名字,我也为之骄傲!”

2010年9月,丘成桐和科学作家史蒂文·纳第斯合著的新书THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)在美国正式出版。书中讲述了丘成桐在数学领域,特别对“卡拉比-丘流形”的证明,以及“卡拉比-丘流形”如何成为今天的科学家们解释宇宙的模型——弦理论的核心。

证明卡拉比猜想

在1954年召开的国际数学家大会上,意大利几何学家卡拉比提出:在封闭的空间中,有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。

卡拉比认为自己的猜想是正确的,但是,包括他自己在内,没有人能证实。

然而,几乎所有的数学家都认为,卡拉比是错的,这个猜想不正确,包括年轻的丘成桐在内,他说:“我曾百分之百地认为,卡拉比所称的空间不可能存在。没有数学家或物理学家曾经发现过其中一个存在的例子,几乎所有的几何学家都认为,这个猜想完美得不可能真实。”

丘成桐花了相当多的时间思考如何证明卡拉比猜想是错的。1973年初,他驾车从纽约州立大学石溪分校来到斯坦福大学,几个月后,他认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明。

证明卡拉比猜想不成立,这是一个重大成果。1973年8月,在斯坦福大学召开的一个有顶级几何学家参加的大型会议上,丘成桐将自己的想法告诉了卡拉比。卡拉比说:“这听起来很好,你为什么不和我讨论一下这个问题呢?”

他们的讨论会从晚上7点开始,卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时,卡拉比很兴奋:“我等待这个结果已经等了好长时间,我希望它是正确的。”其他人则说:“太好了,我们最终可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的。”

当年10月,卡拉比致信丘成桐:“我一直在努力重建你的思想,我现在有一些困难,你能仔细给我解释吗?”丘成桐也开始重建自己的思路,并发现一个问题。“我相当尴尬、窘迫,我当时没有给卡拉比回信,我努力想修补这个证明,但我不能。于是,我开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。我两个星期没有睡觉。但每一次当我发现一个比较接近的例子时,证明总会在最后一分钟崩溃……这时,我对卡拉比猜想有更深刻的理解,感觉整个事情中一定有真实的东西。我认为它应该是正确的。”

丘成桐开始发明新工具来理解卡拉比猜想。1975年,证明只剩下最后一部分了,丘成桐结婚了,并随太太搬到加州大学洛杉矶分校。在结婚成家之初的忙乱中,他将自己锁在办公室思考卡拉比猜想,而不是家庭事务。最终,他解决了整个问题。他说:“我在细节上反复证明了三次,然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。在一个大雪纷飞的圣诞节,他和我到纽约大学去访问数学家路易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg),整个圣诞节这一天我们都在讨论这个问题。之后几个月里,我写了证明卡拉比猜想的论文。”

丘成桐将这篇论文奉献给过世的父亲丘镇英,他说:“父亲是一位教育家、哲学家,在他的熏陶下,我养成了尊重抽象思维的能力。”这一年,丘成桐27岁。

卡拉比猜想的证明让丘成桐一举成名,他的证明所称为“丘定理”,他们所发现的新空间被称为“卡拉比-丘流形”,也就是说,除了我们日常能感知的三维空间和时间外,宇宙中还隐藏着六维不可见的空间,外在的四维空间是它们的表现。

卡拉比猜想的证明也解决了代数几何中的十多个重要问题,丘成桐获得了许多新职位邀请。然而,这只是一个起点,卡拉比猜想被证明的重要性远远不止于此,它成为现代物理学家们解释宇宙本质的弦理论的基石。

结缘物理弦理论

1915年,爱因斯坦发表广义相对论,综合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律,以几何语言建立了引力理论,将引力描述为因时空中物质与能量而弯曲的时空,取代了引力是一种力的传统看法。

在生命的最后30年里,爱因斯坦一直在寻找统一理论,一个能在单独的包罗万象的数学框架下描述自然界所有力的理论。

物理学家和数学家们也在努力。丘成桐说,数学家们认为,他们可以通过五维时空(四维空间和一维时间)来统一这个理论。但物理学家们发现了新粒子,这些粒子需要额外的维度来解释其强作用力和弱作用力。当物理学家们解决了这些问题后,他们发现需要一种名为弦理论的东西才能解释宇宙,所谓的弦理论就是将“弦”看做是物质组成的最基本单元,所有的粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振动激发态,以代替经典物理学模式中的基本粒子。

弦理论的雏形是在1968年由意大利物理学家加布里埃莱·威尼采亚诺(Gabriele Veneziano)提出,他当时在麻省理工学院工作,希望找到能描述原子核内强作用力的数学函数,在一本数学书中,他发现有200年历史之久的欧拉函数能描述他所要求解的强作用力。不久后,美国斯坦福大学的理论物理学家李奥纳特·苏士侃(Leonard Susskind)指出,这个函数可理解为一小段类似橡皮筋一样扭曲抖动的“线段”,即“弦”。

物理学家们发现,为了与量子论一致,弦需要在十维度中震动:三维是空间、一维是时间,另外六维则是“致密空间”,隐藏在“致密空间”中的维度如此之小,以至于人们不能通过任何可感知的实验来探测。实际上,它们是纯粹的结构。

一个伟大的巧合!包含六维空间的“卡拉比-丘流形”所拥有的特殊拓扑学性质正好是弦理论所需要的,丘成桐说:“如果这些空间真正模拟了弦理论所需要的六维空间,那么它们将有助于我们推导出隐藏在宇宙中的几何学和物理定律。”

丘成桐认为,弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和引力等四种相互作用力统一起来的理论,它第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学结合到一个数学上自洽的框架里,有可能解决一些长期困扰物理学家的世纪难题,如黑洞的本质、宇宙的起源等。

迄今为止,因为尚有待实验验证,弦理论仍然是一个理论物理概念。丘成桐是乐观的,他认为,有朝一日,弦理论的实验证明将从根本上改变人们对结构、空间和时间的认识。他说:“数学中每一个基础性发现最终在物质世界都有一个真实的意义……如果空间模拟了弦理论所要求的六维空间,那么它们将帮助我们推导出宇宙的几何性质和物理定律。”

“卡拉比-丘流形”也将丘成桐带入物理世界。他的绝大多数博士后都是物理学博士,他说:“这种情形在数学系并不多见,但这样的安排却让我们彼此受益,他们从我身上学到数学,而我从他们身上学到了物理。我很高兴,我的许多拥有物理学背景的博士后最终成为多所大学数学系的杰出教授,如哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学和东京大学等。

走向公众

为了让几何分析和弦理论进入公众视野,丘成桐和合作者用了4年的时间,写出《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》。

丘成桐说,写这本书的目的不仅是与他人分享自己的研究,而且也想解释数学在帮助人们认识宇宙的过程中所提供的方法。“我们(数学家)是普通的科学家,有时比物理学家和生物学家更沉默,我希望探索数学家们是如何思考自然以及为如何认识自然所作出的贡献。”

然而,对一个更热爱与几何和非线性微分方程打交道的数学家来说,着手写一本英文科普书却是一个巨大的挑战。“英文不是我的母语,我发现,当要将清晰、优雅的数学方程变成语言文字时,如果不是不可能,也是相当的困难,这简直令人沮丧。”他说,“幸运的是,我得到了帮助,尽管本书是通过我的眼睛并用我的语言讲话,但我的合作者一直负责将这些抽象和深奥的数学转化为明晰易懂的文字。”

普林斯顿高等研究中心教授爱德华·威顿(Edward Witten)评价说:“丘成桐和史蒂文·纳第斯带领读者走上一条奇异之旅,拜访了当代几何学和物理学的诸多话题。”

英国皇家纯数学研究教授、帝国学院数学科学研究所所长西蒙·唐纳森(Simon Donaldson)说:“《内空间之形》以一种非凡的视觉,走进我们时代最重要和最有影响的科学家们的思想。”

美国华裔教授专家网以《深悟与洞察》一文,向所有学者和专业人士全力推荐这本新书。文章中说:“《内空间之形》首次用非学术的语言,向广大科普爱好者揭示十维空间的奥秘。读者将随着丘成桐教授深邃的思维,了解人类对宇宙的认识,回顾几何学研究的历程,并展望数学带给人类的未来。本书将从宏观和微观上带给我们对宇宙的新认识,我们对宇宙的看法将从此改变。”

柏拉图深信几何的力量,声称“上帝乃几何学家”。丘成桐说:“虽然与柏拉图有着2400多年的时光隔离,但在几何学的重要性上,我与他是心有灵犀一点通。”

丘成桐1987年成为哈佛大学数学系教授,如今是哈佛大学数学系主席。他说:“从事几何学研究四十余年后,我愿意在我的哈佛大学的办公室门上写道:‘不懂几何者请不要离开’。”

 

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丘成桐:数学和物理如何走在一起

转载自:http://theory.people.com.cn/GB/17780734.html

高斯 德国数学家和物理学家
理查德·舒恩 斯坦福大学数学教授
迈克尔·格林 弦学家
卡拉比 意大利几何学家
黎曼 德国数学家和物理学家
约翰·米尔诺 美国数学家
陈省身 浙江嘉兴人,国际数学大师
卡拉比—丘空间
丘成桐 1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖,迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后,丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上,先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心,并亲自担任这些研究机构的负责人。他还为这些研究机构募集资金1.5亿元。他是当今世界公认的最著名的国际数学大师之一,被国际数学界公认为四分之一世纪里最有影响的数学家。他现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编,所获荣誉还有:瑞士皇家科学院的克雷福特奖、美国国家科学奖、美国国家科学院院士、中国科学院首批外籍院士、俄罗斯科学院外籍院士、台湾中研院院士、世界华人数学家大会主席、中华人民共和国国际科学技术合作奖。

 

数学和物理如何走在一起

广义相对论卡拉比猜想弦论结语

演讲人:丘成桐  地点:三亚·第二届国际数学论坛

今天要讲的,是数学和物理如何互动互利,这种关系在卡拉比—丘(Calabi—Yau)空间和弦论的研究中尤为突出。这个题目非出偶然,它正是我和史蒂夫·纳第斯(Steve Nadis)的新书《内空间的形状》的主旨。书中描述了这些空间背后的故事、个人的经历和几何的历史。

我写这本书,是希望读者透过它,了解数学家是如何看这世界的。数学并非一门不食人间烟火的抽象学问,相反地,它是我们认识物理世界不可或缺的工具。

现在,就让我们沿着时间,或更确切地沿着时空从头说起。

黎曼几何学

黎曼的创见,颠覆了前人对空间的看法,给数学开辟了新途径。几何的对象,从此不再局限于平坦而线性的欧几里德空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。

1969年,我到了伯克利研究院。在那里我了解到,十九世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了一场翻天覆地的变化。黎曼的创见,颠覆了前人对空间的看法,给数学开辟了新途径。

几何的对象,从此不再局限于平坦而线性的欧几里德空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间里,距离和曲率都具有意义。此外,在它们上面还可以建立一套适用的微积分。

大约五十年后,爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学,刚好用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论,沿着新路迈进,他终于完成了著名的广义相对论。

在研究院的第一年,我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样,过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。在伯克利,我修了斯巴涅尔(Spanier)的代数拓扑、劳森(Lawson)的黎曼几何、莫雷伊(Morrey)的偏微分方程。此外,我还旁听了包括广义相对论在内的几门课,我如饥似渴地尽力去吸收知识。

课余的时间都呆在图书馆,它简直成了我的办公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。圣诞节到了,别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何学报》上约翰·米尔诺(John Milnor)的一篇论文,它阐述了空间里曲率与基本群的关系。我既惊且喜,因为它用到了我刚刚学过的知识上。

米尔诺的文笔是如此流畅,我通读此文毫不费力。他文中提及普里斯曼(Preissman)的另一篇论文,我也极感兴趣。

从这些文章中可以见到,负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束,必须具备某些性质。基本群是拓扑上的概念。

虽然,拓扑也是一种研究空间的学问,但它不涉及距离。从这角度来看,拓扑所描绘的空间并没有几何所描绘的那样精细。几何要量度两点间的距离,对空间的属性要知道更多。这些属性可以由每一点的曲率表达出来,这便是几何了。

举例而言,甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的几何,但它们的拓扑却无二样。同样,球面和椭球面几何迥异但拓扑相同。作为拓扑空间,球面的基本群是平凡的,在它上面的任何闭曲线,都可以透过连续的变动而缩成一点。但轮胎面则否,在它上面可以找到某些闭曲线,无论如何连续地变动都不会缩成一点。由此可见,球面和轮胎面具有不同的拓扑。

普里斯曼定理讨论了几何(曲率) 如何影响拓扑(基本群),我作了点推广。在影印这些札记时,一位数学物理的博士后阿瑟·费舍尔(Arthur Fisher)嚷着要知道我干了什么。他看了那些札记后,说任何把曲率与拓扑扯上关系的结果,都会在物理学中用上。这句话在我心中留下烙印,至今不忘。

广义相对论

爱因斯坦研究重力的经历,固然令人神往,他的创获更是惊天动地。但是黎曼几何学在其中发挥的根本作用,也是昭昭然不可抹杀的。

狭义相对论告诉我们,时间和空间浑为一体,形成时空,不可分割。爱因斯坦进一步探究重力的本质,他的友人马塞尔·格罗斯曼(Marcel Grossman)是数学家,爱氏透过他认识到黎曼和里奇(Ricci)的工作。黎曼引进了抽象空间的概念,并且讨论了它的距离和曲率。爱因斯坦利用这种空间,作为他研究重力的舞台。

爱因斯坦也引用了里奇的工作,以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。里奇曲率乃是曲率张量的迹,是曲率的某种平均值。它满足的比安奇恒等式,奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化,从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是,物体的存在使空间产生了曲率,重力应当看作是这种曲率的表现。

对历史有兴趣的读者,爱因斯坦的自家说辞更具说服力。他说:“这套理论指出重力场由物质的分布决定,并随之而演化,正如黎曼所猜测的那样,空间并不是绝对的,它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。”

讲到自己的成就时,爱因斯坦写道:“就学问本身而言,这些理论的推导是如此行云流水,一气呵成,聪明的人花点力气就能掌握它。然而,多年来的探索,苦心孤诣,时而得意,时而气馁,到事竟成,其中甘苦,实在不足为外人道。”

爱因斯坦研究重力的经历,固然令人神往,他的创获更是惊天动地。但是黎曼几何学在其中发挥的根本作用,也是昭昭然不可抹杀的。

半个多世纪后,我研习爱因斯坦方程组,发现物质只能决定时空的部分曲率,为此心生困惑,自问能否找到一个真空,即没有物质的时空,但其曲率不平凡,即其重力为零。当然,著名爱因斯坦方程史瓦兹契德(Schwarzschild)解具有这些性质。它描述的乃是非旋转的黑洞,这是个真空,但奇怪地,异常的重力产生了质量。然而这个解具有一个奇点,在那里所有物理的定律都不适用。

我要找的时空不似史瓦兹契德解所描绘的那样是开放无垠的,反之,它是光滑不带奇点,并且是紧而封闭的。即是说,有没有一个紧而不含物质的空间——即封闭的真空宇宙——其上的重力却不平凡?这问题在我心中挥之不去,我认为这种空间并不存在。如果能从数学上加以论证,这会是几何学上的一条美妙的定理。

卡拉比猜想

在证明卡拉比猜想时,我引进了一个方案,用以寻找满足卡拉比方程的空间,这些空间现在通称为卡拉比—丘空间。我深深地感到,我无心插柳,已经进入了一界数学高地。它必定与物理有关,并能揭开自然界深深埋藏的隐秘。

从上世纪七十年代开始,我便在考虑这个问题。当时,我并不知道几何学家欧亨尼奥·卡拉比(Eugenio Calabi)早已提出差不多同样的问题。他的提问透过颇为复杂的数学语言来表述,其中涉及到克勒(Kaehler)流形、里奇曲率、陈类等等,看起来跟物理沾不上边。事实上,卡拉比抽象的猜想也可以翻过来,变为广义相对论里的一个问题。

新的内容乃是要求要找的时空具有某种内在的对称性,这种对称物理学家称之为超对称。于是上述的问题便变成这样:能否找到一个紧而不带物质的超对称空间,其中的曲率非零,即具有重力?

我与其他人一起试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在,花了差不多三年。这猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性,而且还给出系统地大量构造这类空间的途径,大家都认为世间哪有这样便宜的东西可捡。可是,纵然不乏怀疑卡拉比猜想的理由,但没人能够反证它。

1973年我出席了在斯坦福举行的国际几何会议。这会议是由奥斯曼(Osserman)和陈省身老师组织的。或是由于我与两人的关系,我有幸作出两次演讲。在会议期间,我告诉了一些相识的朋友,说已经找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子传开了,徇众要求,当天晚上另作报告。那晚三十多位几何工作者聚集在数学大楼的三楼,其中包括卡拉比、陈师和其他知名学者。我把如何构造反例说了一遍,大家似乎都非常满意。

卡拉比还为我的构造给出一个解释。大会闭幕时,陈师说我这个反例或可视为整个大会最好的成果,我听后既感意外,又兴奋不已。

可是,真理总是现实的。两个月后我收到卡拉比的信,希望我厘清反例中一些他搞不清楚的细节。看见他的信,我马上就知道我犯了错。接着的两个礼拜,我不眠不休,希望重新构造反例,身心差不多要垮掉。每次以为找到一个反例,瞬即有微妙的理由把它打掉。经过多次失败后,我转而相信这猜想是对的。于是我便改变了方向,把全部精力放在猜想的证明上。花了几年工夫,终于在1976把猜想证明了。

在斯坦福那个会上,物理学家罗伯特·杰勒西(Robert Geroch)在报告中谈到广义相对论中的一个重要课题——正质量猜想。这猜想指出,在任何封闭的物理系统中,总质量/能量必须是正数。我和舒恩(Schoen)埋头苦干,利用了极小曲面,终于把这猜想证明了。

这段日子的工作把我引到广义相对论,我们证明了几条有关黑洞的定理。与相对论学者交流的愉快经验,使我更能开放怀抱与物理学家合作。至于参与弦论的发展,则是几年之后的事了。

在证明卡拉比猜想时,我引进了一个方案,用以寻找满足卡拉比方程的空间,这些空间现在通称为卡拉比—丘空间。我深深地感到,我无心插柳,已经进入了一界数学高地。它必定与物理有关,并能揭开自然界深深埋藏的隐秘。然而,我并不知道这些想法在那里会大派用场,事实上,当时我懂得的物理也不多。

弦论

弦论认为时空的总数为十。我们熟悉的三维是空间,加上时间,那便是爱因斯坦理论中的四维时空。此外的六维属于卡拉比—丘空间,它独立地暗藏于四维时空的每一点里。我们看不见它,但弦论说它是存在的。

1984年,我接到物理学家加里·霍罗威茨(Gary Horowitz)和安迪·斯特罗明格(Andy Strominger)的电话。他们兴冲冲地谈到有关宇宙真空状态的一个模型,这模型是建基于一套叫弦论的崭新理论上的。

弦论的基本假设是,所有最基本的粒子都是由不断振动的弦线所组成的,时空必须容许某种超对称性。同时时空必须是十维的。

我在解决卡拉比猜想时证明存在的空间得到霍罗威茨和斯特罗明格的喜爱。他们相信这些空间会在弦论中担当重要的角色,原因是它们具有弦论所需的那种超对称性。他们希望知道这种看法对不对,我告诉他们,那是对的。他们听到后十分高兴。

不久,爱德华·威滕(Edward Witten)打电话给我,我们是上一年在普林斯顿相识的。他认为就像当年量子力学刚刚面世那样,理论物理学最激动人心的时刻来临了。他说每一位对早期量子力学有贡献的人,都在物理学史上留名。

早期弦学家如迈克尔·格林(Michael Green)和约翰·施瓦茨(John Schwarz)等人的重要发现,有可能终究把所有自然力统一起来。爱因斯坦在他的后半生花了三十年致力于此,但至死也未竟全功。

当时威滕正与凯德勒斯(Candelas)、霍罗威茨和斯特罗明格一起,希望搞清楚弦论中那多出来的六维空间的几何形状。他们认为这六维卷缩成极小的空间,他们叫这空间为卡拉比—丘空间,因为它源于卡拉比的猜想,并由我证明其存在。

弦论认为时空的总数为十。我们熟悉的三维是空间,加上时间,那便是爱因斯坦理论中的四维时空。此外的六维属于卡拉比—丘空间,它独立地暗藏于四维时空的每一点里。我们看不见它,但弦论说它是存在的。

这个添了维数的空间够神奇了,但弦理论并不止于此,它进一步指出卡拉比—丘空间的几何,决定了这个宇宙的性质和物理定律。哪种粒子能够存在,质量是多少,它们如何相亘作用,甚至自然界的一些常数,都取决于卡拉比—丘空间或本书所谓“内空间”的形状。

理论物理学家利用狄克拉(Dirac)算子来研究粒子的属性。透过分析这个算子的谱,可以估计能看到粒子的种类。时空具有十个维数,是四维时空和六维卡拉比—丘空间的乘积。因此,当我们运用分离变数法求解算子谱时,它肯定会受卡拉比—丘空间所左右。卡拉比—丘空间的直径非常小,则非零谱变得异常大。这类粒子应该不会观测到,因为它们只会在极度高能量的状态下才会出现。

另一方面,具有零谱的粒子是可能观测到的,它们取决于卡拉比—丘空间的拓扑。由此可见,这细小的六维空间,其拓扑在物理中是如何举足轻重。爱因斯坦过去指出,重力不过是时空几何的反映。弦学家更进一步,大胆地说这个宇宙的规律,都可以由卡拉比—丘空间的几何推演出来。这个六维空间究竟具有怎样的形状,显然就很重要了。弦学家正就此问题废寝忘食,竭尽心力地研究。

威滕很想多知道一点卡拉比—丘空间。他从普林斯顿飞来圣迭戈,与我讨论如何构造这些空间。他还希望知道究竟有多少个卡拉比—丘空间可供物理学家拣选。原先,他们认为只有几个——即少数拓扑类——可作考虑,是以决定宇宙“内空间”的任务不难完成。可是,我们不久便发现,卡拉比—丘空间比原来估计的来得多。1980年初,我想它只有数万个,然而,其后这数目不断增加,迄今未止。

于是,决定内空间的任务一下子变得无比困难,假如稍后发现有无数卡拉比—丘空间的话,就更遥不可及了。当然,后者是真是假还有待验证,我一直相信,任何维的卡拉比—丘空间都是有限的。

卡拉比—丘空间的热潮,始于1984年,当时的物理学家,开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。热情持续了几年,便开始减退了。可是到了上世纪八十年代末期,布赖·恩格林(Brian Greene)、罗恩·布雷斯(Ronen Plesser)、 菲利普·凯德拉(Philip Candelas)等人开始研究“镜象对称”时,卡拉比—丘空间又重新成为人们的焦点了。

镜对称乃是两个具有不同拓扑的卡拉比—丘空间,看起来没有什么共通点,但却拥有相同的物理定律。具有这样关系的两个卡拉比—丘空间称为“镜象对”。

数学家把物理学家发现的镜象关系搬过来,成为数学上强而有力的工具。在某个卡拉比—丘空间上要解决的难题,可以放到它的镜象上去考虑,这种做法往往奏效。一个求解曲线数目的问题,悬空了差不多一个世纪,就是这样破解的。它使数数几何学(enumerative geometry)这一数学分支,重新焕发了青春。这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。

镜对称是对偶性的一个重要例子。它就像一面窗,让我们窥见卡拉比—丘空间的隐秘。利用它,我们确定了给定阶数的有理曲线在五次面——一个卡拉比—丘空间的总数,这是一个非常困难的问题。

这问题称为Schubert问题。它源于十九世纪,德国数学家赫尔曼·舍伯特(Hermann Schubert)首先证明,在五次面上共有2875条一阶有理曲线。到了1986年,谢尔顿·卡茨(Sheldon Katz)证明了有609250条二阶曲线。1989年前后,两位挪威数学家盖尔·尔林斯瑞德(Geir Ellingsrud)和斯坦·斯达姆(Stein Stromme)利用代数几何的技巧,一下子找到了2638549425条三阶曲线。

可是另一方面,以凯德拉为首的一组物理学家,却利用弦论找到317206375条曲线。他们在寻找的过程中,用了一条并非由数学推导出来的适用于任意阶数曲线的公式。这公式的真确与否,还有待数学家验证。

1991年1月,在伊萨多·辛格(Isadore Singer)的敦促下,我组织了弦学家和数学家首次的主要会议。大会在伯克利的数理科学研究所举行。会议上拥埃林斯里德—斯达姆(Ellingsrud—Stromme)和拥凯德拉团队的人分成两派,壁垒分明,各不相让。这局面维持了几个月,直到数学家在他们的编码程序中发现错误,经修正后,结果竟与物理学家找到的数目完全吻合。经此一役,数学家对弦学家深刻的洞察力,不由得肃然起敬。

这一幕还说明了镜象对称自有其深厚的数学基础。人们花了好几年,到了1990年中后期,镜象对称的严格数学证明,包括凯德拉等人的公式,才由杰文托(Givental)和Lian—Liu—Yau各自独立地完成。

结语

就弦论而言,我们看到几何和物理如何走在一起,催生了美妙的数学、精深的物理。这些数学是如此的美妙,影响了不同的领域,使人们相信它在物理中必有用武之地。

话说回来,我们必须紧记,弦“论”毕竟是一套理论而已,它还未被实验所实证。事实上,有关的实验还没有设计出来。弦论是否真的与原来设想的那样描述自然,还是言之过早。

如果要给弦论打分的话,从好的方面来说,弦论启发了某些极之精妙而有力的数学理论,从中获得的数学式子已经有了严格的证明,弦论的对错与否,都不能改变其真确性。弦论纵使还没有为实验所证实,它始终是现存的唯一能够统一各种自然力的完整理论,而且它非常漂亮。试图统一各种自然力的尝试,竟然导致不同数学领域的融合,这是从来没有想过的。

现在要作总结还不是时候,过去两千年间,几何学屡经更替,最终形成今天的模样。而每次重要的转变,都基于人类对大自然的崭新了解,这应当归功于物理学的最新进展。我们将亲眼看到二十一世纪的重要发展,即量子几何的面世,这门几何把细小的量子物理和大范围的广义相对论结合起来。

抽象的数学为何能够揭露大自然如许讯息,实在不可思议,令人惊叹不已,《内空间的形状》一书的主旨乃在于此。不仅如此,我们还希望透过本书,使读者知道数学家是如何进行研究的。他们未必是奇奇怪怪的人,就像在电影《心灵捕手》(Good Will Hunting)中的清洁工般,一面在打扫地板,另一面却破解了悬空百年的数学难题。杰出的数学家也未必如一部电影和小说描述的那样,是个精神异常、行为古怪的人。

数学家和作实验的学者同样研究自然,但他们采用的观点不同,前者更为抽象。然而,无论数学家或物理学家,他们的工作都以大自然的真和美为依归。数学和物理互动时迸发的火花,重要的想法如何相互渗透,伟大的新学说如何诞生,如此种种,作者都会在书中娓娓道来。

就弦论而言,我们看到几何和物理如何走在一起,催生了美妙的数学、精深的物理。这些数学是如此的美妙,影响了不同的领域,使人们相信它在物理中必有用武之地。可以肯定的是,故事还会继续下去。本人能在其中担当一角色,与有荣焉。今后并将倾尽心血,继续努力。谢谢!