散度与旋度

作者曾博,转自http://blog.renren.com/blog/223331581/855632638?from=223331581#id1971106646

 

1, 斜面坐标

 

斜面坐标是一种三维的欧几里德几何坐标,空间中每一个点的局域坐标都可以被1对1的转化成简单的直角坐标,因此其任意一点处,局域的坐标基矢之间都是垂直的。斜面坐标系是法国数学家Láme 命名,因为在此坐标系下,各坐标独立移动形成的面元全局来看是曲面。物理中最重要的三种斜面坐标分别是:直角坐标系,球面坐标系和柱面坐标系。他们分别应用于不同种类的对称性问题中,他们的解是不同对称性条件下解空间的基。

 

在任意的斜面坐标系中,空间最基本的几何元素,线段元,都可以被如下表征:

 

 

上式中,x1,x2,x3就是局域定义的垂直基矢,而h1,h2,h3则是长度量纲系数。一个简单的例子是直角坐标下,基矢的选择就是位移长度本身,因此h1,h2,h3均为1。而如果在球面坐标下,除了径向位移r是长度本身以外,极角theta和方位角phi 本身并不是长度,而是角度。因此线段元长度量纲h2, h3不是1, 而是弧长系数 r 和 r*sin(theta)。

 

柱面坐标下的线段元表示留作练习。

 

 

 

 

 

 

2,散度和旋度

 

 

 

2.1 散度

 

散度是一种被定义为测量矢量场某点邻域内单位体积内场线出入多少的度量。如果场线净出,则该点存在源;如果场线净入,则存在漏(sink)。为了这样的度量目的,我们定义某点的散度为如上式,用第二类面积分来计算。

 

这里,da是带方向的,包围体积dv的面积元,方向和面积垂直,指向体积外侧,用于确定场线流动的方向和强度。

 

 

不难得出斜面坐标系下某点处体积元的表征。对于定义中的面积分,我们将其投影到三个坐标基方向中,对各个分量进行计算。相对面的场线净出入可以由上式得出。我们选择面为和x1-x2平行的一对。我们只要计算场F在x3上的投影,再乘以面面积(h1h2)dx1dx2,最后对其做对x3方向的偏微分再乘以h3dx3,就能知道前后两面的场流出入的差值了。正方向的定义已经包含在微分的减法符号之中。在计算过程中,我们注意h1,h2,h3这些长度量纲系数的引入,这些系数本身也是坐标的函数,因此对他们的微分要倍加小心。正是他们的存在使得斜面坐标系的散度表达式并不简单。

 

 

就用这个办法,我们不难得出散度在斜面坐标系下的一般表示。此外,再结合显而易见的梯度的定义,我们就能得到拉普拉斯算子在斜面坐标下的表示了。拉普拉斯算子在计算量子力学以及电磁场理论中都有重要应用:

 

 

作为一个例子,我们计算一下球面坐标下的拉普拉斯算子(得到结果如上)。其后的角度微分项在薛定锷方程中,代表转动角动能

 

 

2.2 旋度

 

和散度一样,旋度也是一种被定义来度量矢量场的一种计算。旋度用来测量矢量在某点邻域内的一个单位面积的边界上所做转的“圈数”。因此他用第二类线积分来衡量。其定义如上式。

 

 

为了确定三维空间中单位面积的朝向,我们需要给每一个面积元指定一个垂直于其表面的方向。而且,场在面积边界旋转的方向和面积朝向满足右手法则规定的正负关系。

 

 

我们把任意的面积按照朝向分解投影到基矢方向上,然后对每一个朝向做旋度计算。这个计算过程和散度十分相似,每次取一对边,他们的差就是微分。但需要注意,偏微分的符号有时候并不和规定的正方向一致,因此我们会需要引入一个负号。我们只需要小心核对右手定则就能得到正确的答案。将所有分量按照方向矢量相加,我们就得到了旋度的一般表达式。和散度一样,我们要注意h1, h2, h3这些量纲系数的微分和位置。

 

 

如果我们注意到表达式中正负号和levi-civita的关系,我们就能简化上面的旋度算式,让她变的更象一个叉乘:

 

 

这样一个旋度的表达式就写成了和叉乘一样的行列式的表达式了。这也是为什么旋度使用叉乘符号的一个原因。实际上散度使用点乘的原因也是如此。

 

 

最后,我们在球面坐标系下演练我们的旋度公式。注意表达式是相当复杂的。

 

 

本来,这篇日志打算复习一下比较重要的矢量微积分中的等式,例如bac-cab等式和函数乘法后的散度,旋度,以及散度积分的推广,旋度积分等。因为本人时间有限,留给大家去查阅jackson电动力学的前页。此外,本文有一些插图,时间和能力原因,也没有做成。希望读者能发挥想象,自己看懂。

散度与旋度

作者曾博,转自http://blog.renren.com/blog/223331581/855632638?from=223331581#id1971106646

 

1, 斜面坐标

 

斜面坐标是一种三维的欧几里德几何坐标,空间中每一个点的局域坐标都可以被1对1的转化成简单的直角坐标,因此其任意一点处,局域的坐标基矢之间都是垂直的。斜面坐标系是法国数学家Láme 命名,因为在此坐标系下,各坐标独立移动形成的面元全局来看是曲面。物理中最重要的三种斜面坐标分别是:直角坐标系,球面坐标系和柱面坐标系。他们分别应用于不同种类的对称性问题中,他们的解是不同对称性条件下解空间的基。

 

在任意的斜面坐标系中,空间最基本的几何元素,线段元,都可以被如下表征:

 

 

上式中,x1,x2,x3就是局域定义的垂直基矢,而h1,h2,h3则是长度量纲系数。一个简单的例子是直角坐标下,基矢的选择就是位移长度本身,因此h1,h2,h3均为1。而如果在球面坐标下,除了径向位移r是长度本身以外,极角theta和方位角phi 本身并不是长度,而是角度。因此线段元长度量纲h2, h3不是1, 而是弧长系数 r 和 r*sin(theta)。

 

柱面坐标下的线段元表示留作练习。

 

 

 

 

 

 

2,散度和旋度

 

 

 

2.1 散度

 

散度是一种被定义为测量矢量场某点邻域内单位体积内场线出入多少的度量。如果场线净出,则该点存在源;如果场线净入,则存在漏(sink)。为了这样的度量目的,我们定义某点的散度为如上式,用第二类面积分来计算。

 

这里,da是带方向的,包围体积dv的面积元,方向和面积垂直,指向体积外侧,用于确定场线流动的方向和强度。

 

 

不难得出斜面坐标系下某点处体积元的表征。对于定义中的面积分,我们将其投影到三个坐标基方向中,对各个分量进行计算。相对面的场线净出入可以由上式得出。我们选择面为和x1-x2平行的一对。我们只要计算场F在x3上的投影,再乘以面面积(h1h2)dx1dx2,最后对其做对x3方向的偏微分再乘以h3dx3,就能知道前后两面的场流出入的差值了。正方向的定义已经包含在微分的减法符号之中。在计算过程中,我们注意h1,h2,h3这些长度量纲系数的引入,这些系数本身也是坐标的函数,因此对他们的微分要倍加小心。正是他们的存在使得斜面坐标系的散度表达式并不简单。

 

 

就用这个办法,我们不难得出散度在斜面坐标系下的一般表示。此外,再结合显而易见的梯度的定义,我们就能得到拉普拉斯算子在斜面坐标下的表示了。拉普拉斯算子在计算量子力学以及电磁场理论中都有重要应用:

 

 

作为一个例子,我们计算一下球面坐标下的拉普拉斯算子(得到结果如上)。其后的角度微分项在薛定锷方程中,代表转动角动能

 

 

2.2 旋度

 

和散度一样,旋度也是一种被定义来度量矢量场的一种计算。旋度用来测量矢量在某点邻域内的一个单位面积的边界上所做转的“圈数”。因此他用第二类线积分来衡量。其定义如上式。

 

 

为了确定三维空间中单位面积的朝向,我们需要给每一个面积元指定一个垂直于其表面的方向。而且,场在面积边界旋转的方向和面积朝向满足右手法则规定的正负关系。

 

 

我们把任意的面积按照朝向分解投影到基矢方向上,然后对每一个朝向做旋度计算。这个计算过程和散度十分相似,每次取一对边,他们的差就是微分。但需要注意,偏微分的符号有时候并不和规定的正方向一致,因此我们会需要引入一个负号。我们只需要小心核对右手定则就能得到正确的答案。将所有分量按照方向矢量相加,我们就得到了旋度的一般表达式。和散度一样,我们要注意h1, h2, h3这些量纲系数的微分和位置。

 

 

如果我们注意到表达式中正负号和levi-civita的关系,我们就能简化上面的旋度算式,让她变的更象一个叉乘:

 

 

这样一个旋度的表达式就写成了和叉乘一样的行列式的表达式了。这也是为什么旋度使用叉乘符号的一个原因。实际上散度使用点乘的原因也是如此。

 

 

最后,我们在球面坐标系下演练我们的旋度公式。注意表达式是相当复杂的。

 

 

本来,这篇日志打算复习一下比较重要的矢量微积分中的等式,例如bac-cab等式和函数乘法后的散度,旋度,以及散度积分的推广,旋度积分等。因为本人时间有限,留给大家去查阅jackson电动力学的前页。此外,本文有一些插图,时间和能力原因,也没有做成。希望读者能发挥想象,自己看懂。

散度与旋度

作者曾博,转自http://blog.renren.com/blog/223331581/855632638?from=223331581#id1971106646

 

1, 斜面坐标

 

斜面坐标是一种三维的欧几里德几何坐标,空间中每一个点的局域坐标都可以被1对1的转化成简单的直角坐标,因此其任意一点处,局域的坐标基矢之间都是垂直的。斜面坐标系是法国数学家Láme 命名,因为在此坐标系下,各坐标独立移动形成的面元全局来看是曲面。物理中最重要的三种斜面坐标分别是:直角坐标系,球面坐标系和柱面坐标系。他们分别应用于不同种类的对称性问题中,他们的解是不同对称性条件下解空间的基。

 

在任意的斜面坐标系中,空间最基本的几何元素,线段元,都可以被如下表征:

 

 

上式中,x1,x2,x3就是局域定义的垂直基矢,而h1,h2,h3则是长度量纲系数。一个简单的例子是直角坐标下,基矢的选择就是位移长度本身,因此h1,h2,h3均为1。而如果在球面坐标下,除了径向位移r是长度本身以外,极角theta和方位角phi 本身并不是长度,而是角度。因此线段元长度量纲h2, h3不是1, 而是弧长系数 r 和 r*sin(theta)。

 

柱面坐标下的线段元表示留作练习。

 

 

 

 

 

 

2,散度和旋度

 

 

 

2.1 散度

 

散度是一种被定义为测量矢量场某点邻域内单位体积内场线出入多少的度量。如果场线净出,则该点存在源;如果场线净入,则存在漏(sink)。为了这样的度量目的,我们定义某点的散度为如上式,用第二类面积分来计算。

 

这里,da是带方向的,包围体积dv的面积元,方向和面积垂直,指向体积外侧,用于确定场线流动的方向和强度。

 

 

不难得出斜面坐标系下某点处体积元的表征。对于定义中的面积分,我们将其投影到三个坐标基方向中,对各个分量进行计算。相对面的场线净出入可以由上式得出。我们选择面为和x1-x2平行的一对。我们只要计算场F在x3上的投影,再乘以面面积(h1h2)dx1dx2,最后对其做对x3方向的偏微分再乘以h3dx3,就能知道前后两面的场流出入的差值了。正方向的定义已经包含在微分的减法符号之中。在计算过程中,我们注意h1,h2,h3这些长度量纲系数的引入,这些系数本身也是坐标的函数,因此对他们的微分要倍加小心。正是他们的存在使得斜面坐标系的散度表达式并不简单。

 

 

就用这个办法,我们不难得出散度在斜面坐标系下的一般表示。此外,再结合显而易见的梯度的定义,我们就能得到拉普拉斯算子在斜面坐标下的表示了。拉普拉斯算子在计算量子力学以及电磁场理论中都有重要应用:

 

 

作为一个例子,我们计算一下球面坐标下的拉普拉斯算子(得到结果如上)。其后的角度微分项在薛定锷方程中,代表转动角动能

 

 

2.2 旋度

 

和散度一样,旋度也是一种被定义来度量矢量场的一种计算。旋度用来测量矢量在某点邻域内的一个单位面积的边界上所做转的“圈数”。因此他用第二类线积分来衡量。其定义如上式。

 

 

为了确定三维空间中单位面积的朝向,我们需要给每一个面积元指定一个垂直于其表面的方向。而且,场在面积边界旋转的方向和面积朝向满足右手法则规定的正负关系。

 

 

我们把任意的面积按照朝向分解投影到基矢方向上,然后对每一个朝向做旋度计算。这个计算过程和散度十分相似,每次取一对边,他们的差就是微分。但需要注意,偏微分的符号有时候并不和规定的正方向一致,因此我们会需要引入一个负号。我们只需要小心核对右手定则就能得到正确的答案。将所有分量按照方向矢量相加,我们就得到了旋度的一般表达式。和散度一样,我们要注意h1, h2, h3这些量纲系数的微分和位置。

 

 

如果我们注意到表达式中正负号和levi-civita的关系,我们就能简化上面的旋度算式,让她变的更象一个叉乘:

 

 

这样一个旋度的表达式就写成了和叉乘一样的行列式的表达式了。这也是为什么旋度使用叉乘符号的一个原因。实际上散度使用点乘的原因也是如此。

 

 

最后,我们在球面坐标系下演练我们的旋度公式。注意表达式是相当复杂的。

 

 

本来,这篇日志打算复习一下比较重要的矢量微积分中的等式,例如bac-cab等式和函数乘法后的散度,旋度,以及散度积分的推广,旋度积分等。因为本人时间有限,留给大家去查阅jackson电动力学的前页。此外,本文有一些插图,时间和能力原因,也没有做成。希望读者能发挥想象,自己看懂。

内空间之形——卡丘空间介绍

弦理论认为,自然界的基本粒子和基本作用力是极小微小的“弦”振动的结果,人类生活在有十维空间的宇宙中,但日常生活中只能感知四维空间,另外六维空间则以奇妙结构卷藏在宇宙中,这个结构就是被几何学家丘成桐证明的“卡拉比-丘流形”。在THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)一书中,丘成桐介绍了理解他的工作所需要的数学,也介绍了这项证明在数学和物理学领域的巨大影响。他最后问道,这一发现是否预示着宇宙的命运和几何学自身的命运?

大约在公元前387年,希腊哲学家柏拉图在雅典创办了一所以希腊英雄阿卡德米(Academy)命名的学院,这是世界上第一所研究型大学。柏拉图认为几何学研究是通向认识宇宙本质的道路,他在学院的大门上方篆刻了一条戒律:“不懂几何者请勿入内。”

1969年9月,20岁的丘成桐从香港来到美国,成为加州大学伯克利分校的一名研究生。在这里,他第一次听说爱因斯坦的重力理论。“当得知重力和曲面被当做是同一回事的观点后,我被震惊了。因为在香港上大学时,我已经着迷于曲面的研究,我只是本能地对这些曲面感兴趣,我不知道为什么,但我从来没有停止过对它们的思考。在得知曲面是爱因斯坦广义相对论的基础时,我想,有一天,我会以某种方式为认识我们身在其中的宇宙作出贡献。”他在书中写道。

1976年,27岁的丘成桐证明卡拉比猜想,并因此获得1983年的菲尔茨奖。他说:“自从1983年,‘卡拉比-丘流形’刻入菲尔茨奖章后,我几乎感到卡拉比仿佛成了我的名字,如果在公众心中这是我的名字,我也为之骄傲!”

2010年9月,丘成桐和科学作家史蒂文·纳第斯合著的新书THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)在美国正式出版。书中讲述了丘成桐在数学领域,特别对“卡拉比-丘流形”的证明,以及“卡拉比-丘流形”如何成为今天的科学家们解释宇宙的模型——弦理论的核心。

证明卡拉比猜想

在1954年召开的国际数学家大会上,意大利几何学家卡拉比提出:在封闭的空间中,有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。

卡拉比认为自己的猜想是正确的,但是,包括他自己在内,没有人能证实。

然而,几乎所有的数学家都认为,卡拉比是错的,这个猜想不正确,包括年轻的丘成桐在内,他说:“我曾百分之百地认为,卡拉比所称的空间不可能存在。没有数学家或物理学家曾经发现过其中一个存在的例子,几乎所有的几何学家都认为,这个猜想完美得不可能真实。”

丘成桐花了相当多的时间思考如何证明卡拉比猜想是错的。1973年初,他驾车从纽约州立大学石溪分校来到斯坦福大学,几个月后,他认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明。

证明卡拉比猜想不成立,这是一个重大成果。1973年8月,在斯坦福大学召开的一个有顶级几何学家参加的大型会议上,丘成桐将自己的想法告诉了卡拉比。卡拉比说:“这听起来很好,你为什么不和我讨论一下这个问题呢?”

他们的讨论会从晚上7点开始,卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时,卡拉比很兴奋:“我等待这个结果已经等了好长时间,我希望它是正确的。”其他人则说:“太好了,我们最终可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的。”

当年10月,卡拉比致信丘成桐:“我一直在努力重建你的思想,我现在有一些困难,你能仔细给我解释吗?”丘成桐也开始重建自己的思路,并发现一个问题。“我相当尴尬、窘迫,我当时没有给卡拉比回信,我努力想修补这个证明,但我不能。于是,我开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。我两个星期没有睡觉。但每一次当我发现一个比较接近的例子时,证明总会在最后一分钟崩溃……这时,我对卡拉比猜想有更深刻的理解,感觉整个事情中一定有真实的东西。我认为它应该是正确的。”

丘成桐开始发明新工具来理解卡拉比猜想。1975年,证明只剩下最后一部分了,丘成桐结婚了,并随太太搬到加州大学洛杉矶分校。在结婚成家之初的忙乱中,他将自己锁在办公室思考卡拉比猜想,而不是家庭事务。最终,他解决了整个问题。他说:“我在细节上反复证明了三次,然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。在一个大雪纷飞的圣诞节,他和我到纽约大学去访问数学家路易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg),整个圣诞节这一天我们都在讨论这个问题。之后几个月里,我写了证明卡拉比猜想的论文。”

丘成桐将这篇论文奉献给过世的父亲丘镇英,他说:“父亲是一位教育家、哲学家,在他的熏陶下,我养成了尊重抽象思维的能力。”这一年,丘成桐27岁。

卡拉比猜想的证明让丘成桐一举成名,他的证明所称为“丘定理”,他们所发现的新空间被称为“卡拉比-丘流形”,也就是说,除了我们日常能感知的三维空间和时间外,宇宙中还隐藏着六维不可见的空间,外在的四维空间是它们的表现。

卡拉比猜想的证明也解决了代数几何中的十多个重要问题,丘成桐获得了许多新职位邀请。然而,这只是一个起点,卡拉比猜想被证明的重要性远远不止于此,它成为现代物理学家们解释宇宙本质的弦理论的基石。

结缘物理弦理论

1915年,爱因斯坦发表广义相对论,综合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律,以几何语言建立了引力理论,将引力描述为因时空中物质与能量而弯曲的时空,取代了引力是一种力的传统看法。

在生命的最后30年里,爱因斯坦一直在寻找统一理论,一个能在单独的包罗万象的数学框架下描述自然界所有力的理论。

物理学家和数学家们也在努力。丘成桐说,数学家们认为,他们可以通过五维时空(四维空间和一维时间)来统一这个理论。但物理学家们发现了新粒子,这些粒子需要额外的维度来解释其强作用力和弱作用力。当物理学家们解决了这些问题后,他们发现需要一种名为弦理论的东西才能解释宇宙,所谓的弦理论就是将“弦”看做是物质组成的最基本单元,所有的粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振动激发态,以代替经典物理学模式中的基本粒子。

弦理论的雏形是在1968年由意大利物理学家加布里埃莱·威尼采亚诺(Gabriele Veneziano)提出,他当时在麻省理工学院工作,希望找到能描述原子核内强作用力的数学函数,在一本数学书中,他发现有200年历史之久的欧拉函数能描述他所要求解的强作用力。不久后,美国斯坦福大学的理论物理学家李奥纳特·苏士侃(Leonard Susskind)指出,这个函数可理解为一小段类似橡皮筋一样扭曲抖动的“线段”,即“弦”。

物理学家们发现,为了与量子论一致,弦需要在十维度中震动:三维是空间、一维是时间,另外六维则是“致密空间”,隐藏在“致密空间”中的维度如此之小,以至于人们不能通过任何可感知的实验来探测。实际上,它们是纯粹的结构。

一个伟大的巧合!包含六维空间的“卡拉比-丘流形”所拥有的特殊拓扑学性质正好是弦理论所需要的,丘成桐说:“如果这些空间真正模拟了弦理论所需要的六维空间,那么它们将有助于我们推导出隐藏在宇宙中的几何学和物理定律。”

丘成桐认为,弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和引力等四种相互作用力统一起来的理论,它第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学结合到一个数学上自洽的框架里,有可能解决一些长期困扰物理学家的世纪难题,如黑洞的本质、宇宙的起源等。

迄今为止,因为尚有待实验验证,弦理论仍然是一个理论物理概念。丘成桐是乐观的,他认为,有朝一日,弦理论的实验证明将从根本上改变人们对结构、空间和时间的认识。他说:“数学中每一个基础性发现最终在物质世界都有一个真实的意义……如果空间模拟了弦理论所要求的六维空间,那么它们将帮助我们推导出宇宙的几何性质和物理定律。”

“卡拉比-丘流形”也将丘成桐带入物理世界。他的绝大多数博士后都是物理学博士,他说:“这种情形在数学系并不多见,但这样的安排却让我们彼此受益,他们从我身上学到数学,而我从他们身上学到了物理。我很高兴,我的许多拥有物理学背景的博士后最终成为多所大学数学系的杰出教授,如哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学和东京大学等。

走向公众

为了让几何分析和弦理论进入公众视野,丘成桐和合作者用了4年的时间,写出《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》。

丘成桐说,写这本书的目的不仅是与他人分享自己的研究,而且也想解释数学在帮助人们认识宇宙的过程中所提供的方法。“我们(数学家)是普通的科学家,有时比物理学家和生物学家更沉默,我希望探索数学家们是如何思考自然以及为如何认识自然所作出的贡献。”

然而,对一个更热爱与几何和非线性微分方程打交道的数学家来说,着手写一本英文科普书却是一个巨大的挑战。“英文不是我的母语,我发现,当要将清晰、优雅的数学方程变成语言文字时,如果不是不可能,也是相当的困难,这简直令人沮丧。”他说,“幸运的是,我得到了帮助,尽管本书是通过我的眼睛并用我的语言讲话,但我的合作者一直负责将这些抽象和深奥的数学转化为明晰易懂的文字。”

普林斯顿高等研究中心教授爱德华·威顿(Edward Witten)评价说:“丘成桐和史蒂文·纳第斯带领读者走上一条奇异之旅,拜访了当代几何学和物理学的诸多话题。”

英国皇家纯数学研究教授、帝国学院数学科学研究所所长西蒙·唐纳森(Simon Donaldson)说:“《内空间之形》以一种非凡的视觉,走进我们时代最重要和最有影响的科学家们的思想。”

美国华裔教授专家网以《深悟与洞察》一文,向所有学者和专业人士全力推荐这本新书。文章中说:“《内空间之形》首次用非学术的语言,向广大科普爱好者揭示十维空间的奥秘。读者将随着丘成桐教授深邃的思维,了解人类对宇宙的认识,回顾几何学研究的历程,并展望数学带给人类的未来。本书将从宏观和微观上带给我们对宇宙的新认识,我们对宇宙的看法将从此改变。”

柏拉图深信几何的力量,声称“上帝乃几何学家”。丘成桐说:“虽然与柏拉图有着2400多年的时光隔离,但在几何学的重要性上,我与他是心有灵犀一点通。”

丘成桐1987年成为哈佛大学数学系教授,如今是哈佛大学数学系主席。他说:“从事几何学研究四十余年后,我愿意在我的哈佛大学的办公室门上写道:‘不懂几何者请不要离开’。”

 

转自 http://site.douban.com/widget/forum/5370417/discussion/42696422/

内空间之形——卡丘空间介绍

弦理论认为,自然界的基本粒子和基本作用力是极小微小的“弦”振动的结果,人类生活在有十维空间的宇宙中,但日常生活中只能感知四维空间,另外六维空间则以奇妙结构卷藏在宇宙中,这个结构就是被几何学家丘成桐证明的“卡拉比-丘流形”。在THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)一书中,丘成桐介绍了理解他的工作所需要的数学,也介绍了这项证明在数学和物理学领域的巨大影响。他最后问道,这一发现是否预示着宇宙的命运和几何学自身的命运?

大约在公元前387年,希腊哲学家柏拉图在雅典创办了一所以希腊英雄阿卡德米(Academy)命名的学院,这是世界上第一所研究型大学。柏拉图认为几何学研究是通向认识宇宙本质的道路,他在学院的大门上方篆刻了一条戒律:“不懂几何者请勿入内。”

1969年9月,20岁的丘成桐从香港来到美国,成为加州大学伯克利分校的一名研究生。在这里,他第一次听说爱因斯坦的重力理论。“当得知重力和曲面被当做是同一回事的观点后,我被震惊了。因为在香港上大学时,我已经着迷于曲面的研究,我只是本能地对这些曲面感兴趣,我不知道为什么,但我从来没有停止过对它们的思考。在得知曲面是爱因斯坦广义相对论的基础时,我想,有一天,我会以某种方式为认识我们身在其中的宇宙作出贡献。”他在书中写道。

1976年,27岁的丘成桐证明卡拉比猜想,并因此获得1983年的菲尔茨奖。他说:“自从1983年,‘卡拉比-丘流形’刻入菲尔茨奖章后,我几乎感到卡拉比仿佛成了我的名字,如果在公众心中这是我的名字,我也为之骄傲!”

2010年9月,丘成桐和科学作家史蒂文·纳第斯合著的新书THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)在美国正式出版。书中讲述了丘成桐在数学领域,特别对“卡拉比-丘流形”的证明,以及“卡拉比-丘流形”如何成为今天的科学家们解释宇宙的模型——弦理论的核心。

证明卡拉比猜想

在1954年召开的国际数学家大会上,意大利几何学家卡拉比提出:在封闭的空间中,有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。

卡拉比认为自己的猜想是正确的,但是,包括他自己在内,没有人能证实。

然而,几乎所有的数学家都认为,卡拉比是错的,这个猜想不正确,包括年轻的丘成桐在内,他说:“我曾百分之百地认为,卡拉比所称的空间不可能存在。没有数学家或物理学家曾经发现过其中一个存在的例子,几乎所有的几何学家都认为,这个猜想完美得不可能真实。”

丘成桐花了相当多的时间思考如何证明卡拉比猜想是错的。1973年初,他驾车从纽约州立大学石溪分校来到斯坦福大学,几个月后,他认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明。

证明卡拉比猜想不成立,这是一个重大成果。1973年8月,在斯坦福大学召开的一个有顶级几何学家参加的大型会议上,丘成桐将自己的想法告诉了卡拉比。卡拉比说:“这听起来很好,你为什么不和我讨论一下这个问题呢?”

他们的讨论会从晚上7点开始,卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时,卡拉比很兴奋:“我等待这个结果已经等了好长时间,我希望它是正确的。”其他人则说:“太好了,我们最终可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的。”

当年10月,卡拉比致信丘成桐:“我一直在努力重建你的思想,我现在有一些困难,你能仔细给我解释吗?”丘成桐也开始重建自己的思路,并发现一个问题。“我相当尴尬、窘迫,我当时没有给卡拉比回信,我努力想修补这个证明,但我不能。于是,我开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。我两个星期没有睡觉。但每一次当我发现一个比较接近的例子时,证明总会在最后一分钟崩溃……这时,我对卡拉比猜想有更深刻的理解,感觉整个事情中一定有真实的东西。我认为它应该是正确的。”

丘成桐开始发明新工具来理解卡拉比猜想。1975年,证明只剩下最后一部分了,丘成桐结婚了,并随太太搬到加州大学洛杉矶分校。在结婚成家之初的忙乱中,他将自己锁在办公室思考卡拉比猜想,而不是家庭事务。最终,他解决了整个问题。他说:“我在细节上反复证明了三次,然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。在一个大雪纷飞的圣诞节,他和我到纽约大学去访问数学家路易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg),整个圣诞节这一天我们都在讨论这个问题。之后几个月里,我写了证明卡拉比猜想的论文。”

丘成桐将这篇论文奉献给过世的父亲丘镇英,他说:“父亲是一位教育家、哲学家,在他的熏陶下,我养成了尊重抽象思维的能力。”这一年,丘成桐27岁。

卡拉比猜想的证明让丘成桐一举成名,他的证明所称为“丘定理”,他们所发现的新空间被称为“卡拉比-丘流形”,也就是说,除了我们日常能感知的三维空间和时间外,宇宙中还隐藏着六维不可见的空间,外在的四维空间是它们的表现。

卡拉比猜想的证明也解决了代数几何中的十多个重要问题,丘成桐获得了许多新职位邀请。然而,这只是一个起点,卡拉比猜想被证明的重要性远远不止于此,它成为现代物理学家们解释宇宙本质的弦理论的基石。

结缘物理弦理论

1915年,爱因斯坦发表广义相对论,综合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律,以几何语言建立了引力理论,将引力描述为因时空中物质与能量而弯曲的时空,取代了引力是一种力的传统看法。

在生命的最后30年里,爱因斯坦一直在寻找统一理论,一个能在单独的包罗万象的数学框架下描述自然界所有力的理论。

物理学家和数学家们也在努力。丘成桐说,数学家们认为,他们可以通过五维时空(四维空间和一维时间)来统一这个理论。但物理学家们发现了新粒子,这些粒子需要额外的维度来解释其强作用力和弱作用力。当物理学家们解决了这些问题后,他们发现需要一种名为弦理论的东西才能解释宇宙,所谓的弦理论就是将“弦”看做是物质组成的最基本单元,所有的粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振动激发态,以代替经典物理学模式中的基本粒子。

弦理论的雏形是在1968年由意大利物理学家加布里埃莱·威尼采亚诺(Gabriele Veneziano)提出,他当时在麻省理工学院工作,希望找到能描述原子核内强作用力的数学函数,在一本数学书中,他发现有200年历史之久的欧拉函数能描述他所要求解的强作用力。不久后,美国斯坦福大学的理论物理学家李奥纳特·苏士侃(Leonard Susskind)指出,这个函数可理解为一小段类似橡皮筋一样扭曲抖动的“线段”,即“弦”。

物理学家们发现,为了与量子论一致,弦需要在十维度中震动:三维是空间、一维是时间,另外六维则是“致密空间”,隐藏在“致密空间”中的维度如此之小,以至于人们不能通过任何可感知的实验来探测。实际上,它们是纯粹的结构。

一个伟大的巧合!包含六维空间的“卡拉比-丘流形”所拥有的特殊拓扑学性质正好是弦理论所需要的,丘成桐说:“如果这些空间真正模拟了弦理论所需要的六维空间,那么它们将有助于我们推导出隐藏在宇宙中的几何学和物理定律。”

丘成桐认为,弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和引力等四种相互作用力统一起来的理论,它第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学结合到一个数学上自洽的框架里,有可能解决一些长期困扰物理学家的世纪难题,如黑洞的本质、宇宙的起源等。

迄今为止,因为尚有待实验验证,弦理论仍然是一个理论物理概念。丘成桐是乐观的,他认为,有朝一日,弦理论的实验证明将从根本上改变人们对结构、空间和时间的认识。他说:“数学中每一个基础性发现最终在物质世界都有一个真实的意义……如果空间模拟了弦理论所要求的六维空间,那么它们将帮助我们推导出宇宙的几何性质和物理定律。”

“卡拉比-丘流形”也将丘成桐带入物理世界。他的绝大多数博士后都是物理学博士,他说:“这种情形在数学系并不多见,但这样的安排却让我们彼此受益,他们从我身上学到数学,而我从他们身上学到了物理。我很高兴,我的许多拥有物理学背景的博士后最终成为多所大学数学系的杰出教授,如哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学和东京大学等。

走向公众

为了让几何分析和弦理论进入公众视野,丘成桐和合作者用了4年的时间,写出《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》。

丘成桐说,写这本书的目的不仅是与他人分享自己的研究,而且也想解释数学在帮助人们认识宇宙的过程中所提供的方法。“我们(数学家)是普通的科学家,有时比物理学家和生物学家更沉默,我希望探索数学家们是如何思考自然以及为如何认识自然所作出的贡献。”

然而,对一个更热爱与几何和非线性微分方程打交道的数学家来说,着手写一本英文科普书却是一个巨大的挑战。“英文不是我的母语,我发现,当要将清晰、优雅的数学方程变成语言文字时,如果不是不可能,也是相当的困难,这简直令人沮丧。”他说,“幸运的是,我得到了帮助,尽管本书是通过我的眼睛并用我的语言讲话,但我的合作者一直负责将这些抽象和深奥的数学转化为明晰易懂的文字。”

普林斯顿高等研究中心教授爱德华·威顿(Edward Witten)评价说:“丘成桐和史蒂文·纳第斯带领读者走上一条奇异之旅,拜访了当代几何学和物理学的诸多话题。”

英国皇家纯数学研究教授、帝国学院数学科学研究所所长西蒙·唐纳森(Simon Donaldson)说:“《内空间之形》以一种非凡的视觉,走进我们时代最重要和最有影响的科学家们的思想。”

美国华裔教授专家网以《深悟与洞察》一文,向所有学者和专业人士全力推荐这本新书。文章中说:“《内空间之形》首次用非学术的语言,向广大科普爱好者揭示十维空间的奥秘。读者将随着丘成桐教授深邃的思维,了解人类对宇宙的认识,回顾几何学研究的历程,并展望数学带给人类的未来。本书将从宏观和微观上带给我们对宇宙的新认识,我们对宇宙的看法将从此改变。”

柏拉图深信几何的力量,声称“上帝乃几何学家”。丘成桐说:“虽然与柏拉图有着2400多年的时光隔离,但在几何学的重要性上,我与他是心有灵犀一点通。”

丘成桐1987年成为哈佛大学数学系教授,如今是哈佛大学数学系主席。他说:“从事几何学研究四十余年后,我愿意在我的哈佛大学的办公室门上写道:‘不懂几何者请不要离开’。”

 

转自 http://site.douban.com/widget/forum/5370417/discussion/42696422/

内空间之形——卡丘空间介绍

弦理论认为,自然界的基本粒子和基本作用力是极小微小的“弦”振动的结果,人类生活在有十维空间的宇宙中,但日常生活中只能感知四维空间,另外六维空间则以奇妙结构卷藏在宇宙中,这个结构就是被几何学家丘成桐证明的“卡拉比-丘流形”。在THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)一书中,丘成桐介绍了理解他的工作所需要的数学,也介绍了这项证明在数学和物理学领域的巨大影响。他最后问道,这一发现是否预示着宇宙的命运和几何学自身的命运?

大约在公元前387年,希腊哲学家柏拉图在雅典创办了一所以希腊英雄阿卡德米(Academy)命名的学院,这是世界上第一所研究型大学。柏拉图认为几何学研究是通向认识宇宙本质的道路,他在学院的大门上方篆刻了一条戒律:“不懂几何者请勿入内。”

1969年9月,20岁的丘成桐从香港来到美国,成为加州大学伯克利分校的一名研究生。在这里,他第一次听说爱因斯坦的重力理论。“当得知重力和曲面被当做是同一回事的观点后,我被震惊了。因为在香港上大学时,我已经着迷于曲面的研究,我只是本能地对这些曲面感兴趣,我不知道为什么,但我从来没有停止过对它们的思考。在得知曲面是爱因斯坦广义相对论的基础时,我想,有一天,我会以某种方式为认识我们身在其中的宇宙作出贡献。”他在书中写道。

1976年,27岁的丘成桐证明卡拉比猜想,并因此获得1983年的菲尔茨奖。他说:“自从1983年,‘卡拉比-丘流形’刻入菲尔茨奖章后,我几乎感到卡拉比仿佛成了我的名字,如果在公众心中这是我的名字,我也为之骄傲!”

2010年9月,丘成桐和科学作家史蒂文·纳第斯合著的新书THE SHAPE OF INNER SPACE (《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》)在美国正式出版。书中讲述了丘成桐在数学领域,特别对“卡拉比-丘流形”的证明,以及“卡拉比-丘流形”如何成为今天的科学家们解释宇宙的模型——弦理论的核心。

证明卡拉比猜想

在1954年召开的国际数学家大会上,意大利几何学家卡拉比提出:在封闭的空间中,有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。

卡拉比认为自己的猜想是正确的,但是,包括他自己在内,没有人能证实。

然而,几乎所有的数学家都认为,卡拉比是错的,这个猜想不正确,包括年轻的丘成桐在内,他说:“我曾百分之百地认为,卡拉比所称的空间不可能存在。没有数学家或物理学家曾经发现过其中一个存在的例子,几乎所有的几何学家都认为,这个猜想完美得不可能真实。”

丘成桐花了相当多的时间思考如何证明卡拉比猜想是错的。1973年初,他驾车从纽约州立大学石溪分校来到斯坦福大学,几个月后,他认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明。

证明卡拉比猜想不成立,这是一个重大成果。1973年8月,在斯坦福大学召开的一个有顶级几何学家参加的大型会议上,丘成桐将自己的想法告诉了卡拉比。卡拉比说:“这听起来很好,你为什么不和我讨论一下这个问题呢?”

他们的讨论会从晚上7点开始,卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时,卡拉比很兴奋:“我等待这个结果已经等了好长时间,我希望它是正确的。”其他人则说:“太好了,我们最终可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的。”

当年10月,卡拉比致信丘成桐:“我一直在努力重建你的思想,我现在有一些困难,你能仔细给我解释吗?”丘成桐也开始重建自己的思路,并发现一个问题。“我相当尴尬、窘迫,我当时没有给卡拉比回信,我努力想修补这个证明,但我不能。于是,我开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。我两个星期没有睡觉。但每一次当我发现一个比较接近的例子时,证明总会在最后一分钟崩溃……这时,我对卡拉比猜想有更深刻的理解,感觉整个事情中一定有真实的东西。我认为它应该是正确的。”

丘成桐开始发明新工具来理解卡拉比猜想。1975年,证明只剩下最后一部分了,丘成桐结婚了,并随太太搬到加州大学洛杉矶分校。在结婚成家之初的忙乱中,他将自己锁在办公室思考卡拉比猜想,而不是家庭事务。最终,他解决了整个问题。他说:“我在细节上反复证明了三次,然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。在一个大雪纷飞的圣诞节,他和我到纽约大学去访问数学家路易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg),整个圣诞节这一天我们都在讨论这个问题。之后几个月里,我写了证明卡拉比猜想的论文。”

丘成桐将这篇论文奉献给过世的父亲丘镇英,他说:“父亲是一位教育家、哲学家,在他的熏陶下,我养成了尊重抽象思维的能力。”这一年,丘成桐27岁。

卡拉比猜想的证明让丘成桐一举成名,他的证明所称为“丘定理”,他们所发现的新空间被称为“卡拉比-丘流形”,也就是说,除了我们日常能感知的三维空间和时间外,宇宙中还隐藏着六维不可见的空间,外在的四维空间是它们的表现。

卡拉比猜想的证明也解决了代数几何中的十多个重要问题,丘成桐获得了许多新职位邀请。然而,这只是一个起点,卡拉比猜想被证明的重要性远远不止于此,它成为现代物理学家们解释宇宙本质的弦理论的基石。

结缘物理弦理论

1915年,爱因斯坦发表广义相对论,综合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律,以几何语言建立了引力理论,将引力描述为因时空中物质与能量而弯曲的时空,取代了引力是一种力的传统看法。

在生命的最后30年里,爱因斯坦一直在寻找统一理论,一个能在单独的包罗万象的数学框架下描述自然界所有力的理论。

物理学家和数学家们也在努力。丘成桐说,数学家们认为,他们可以通过五维时空(四维空间和一维时间)来统一这个理论。但物理学家们发现了新粒子,这些粒子需要额外的维度来解释其强作用力和弱作用力。当物理学家们解决了这些问题后,他们发现需要一种名为弦理论的东西才能解释宇宙,所谓的弦理论就是将“弦”看做是物质组成的最基本单元,所有的粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振动激发态,以代替经典物理学模式中的基本粒子。

弦理论的雏形是在1968年由意大利物理学家加布里埃莱·威尼采亚诺(Gabriele Veneziano)提出,他当时在麻省理工学院工作,希望找到能描述原子核内强作用力的数学函数,在一本数学书中,他发现有200年历史之久的欧拉函数能描述他所要求解的强作用力。不久后,美国斯坦福大学的理论物理学家李奥纳特·苏士侃(Leonard Susskind)指出,这个函数可理解为一小段类似橡皮筋一样扭曲抖动的“线段”,即“弦”。

物理学家们发现,为了与量子论一致,弦需要在十维度中震动:三维是空间、一维是时间,另外六维则是“致密空间”,隐藏在“致密空间”中的维度如此之小,以至于人们不能通过任何可感知的实验来探测。实际上,它们是纯粹的结构。

一个伟大的巧合!包含六维空间的“卡拉比-丘流形”所拥有的特殊拓扑学性质正好是弦理论所需要的,丘成桐说:“如果这些空间真正模拟了弦理论所需要的六维空间,那么它们将有助于我们推导出隐藏在宇宙中的几何学和物理定律。”

丘成桐认为,弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和引力等四种相互作用力统一起来的理论,它第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学结合到一个数学上自洽的框架里,有可能解决一些长期困扰物理学家的世纪难题,如黑洞的本质、宇宙的起源等。

迄今为止,因为尚有待实验验证,弦理论仍然是一个理论物理概念。丘成桐是乐观的,他认为,有朝一日,弦理论的实验证明将从根本上改变人们对结构、空间和时间的认识。他说:“数学中每一个基础性发现最终在物质世界都有一个真实的意义……如果空间模拟了弦理论所要求的六维空间,那么它们将帮助我们推导出宇宙的几何性质和物理定律。”

“卡拉比-丘流形”也将丘成桐带入物理世界。他的绝大多数博士后都是物理学博士,他说:“这种情形在数学系并不多见,但这样的安排却让我们彼此受益,他们从我身上学到数学,而我从他们身上学到了物理。我很高兴,我的许多拥有物理学背景的博士后最终成为多所大学数学系的杰出教授,如哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学和东京大学等。

走向公众

为了让几何分析和弦理论进入公众视野,丘成桐和合作者用了4年的时间,写出《内空间之形——弦理论和宇宙隐藏维度之几何学》。

丘成桐说,写这本书的目的不仅是与他人分享自己的研究,而且也想解释数学在帮助人们认识宇宙的过程中所提供的方法。“我们(数学家)是普通的科学家,有时比物理学家和生物学家更沉默,我希望探索数学家们是如何思考自然以及为如何认识自然所作出的贡献。”

然而,对一个更热爱与几何和非线性微分方程打交道的数学家来说,着手写一本英文科普书却是一个巨大的挑战。“英文不是我的母语,我发现,当要将清晰、优雅的数学方程变成语言文字时,如果不是不可能,也是相当的困难,这简直令人沮丧。”他说,“幸运的是,我得到了帮助,尽管本书是通过我的眼睛并用我的语言讲话,但我的合作者一直负责将这些抽象和深奥的数学转化为明晰易懂的文字。”

普林斯顿高等研究中心教授爱德华·威顿(Edward Witten)评价说:“丘成桐和史蒂文·纳第斯带领读者走上一条奇异之旅,拜访了当代几何学和物理学的诸多话题。”

英国皇家纯数学研究教授、帝国学院数学科学研究所所长西蒙·唐纳森(Simon Donaldson)说:“《内空间之形》以一种非凡的视觉,走进我们时代最重要和最有影响的科学家们的思想。”

美国华裔教授专家网以《深悟与洞察》一文,向所有学者和专业人士全力推荐这本新书。文章中说:“《内空间之形》首次用非学术的语言,向广大科普爱好者揭示十维空间的奥秘。读者将随着丘成桐教授深邃的思维,了解人类对宇宙的认识,回顾几何学研究的历程,并展望数学带给人类的未来。本书将从宏观和微观上带给我们对宇宙的新认识,我们对宇宙的看法将从此改变。”

柏拉图深信几何的力量,声称“上帝乃几何学家”。丘成桐说:“虽然与柏拉图有着2400多年的时光隔离,但在几何学的重要性上,我与他是心有灵犀一点通。”

丘成桐1987年成为哈佛大学数学系教授,如今是哈佛大学数学系主席。他说:“从事几何学研究四十余年后,我愿意在我的哈佛大学的办公室门上写道:‘不懂几何者请不要离开’。”

 

转自 http://site.douban.com/widget/forum/5370417/discussion/42696422/

数学家和物理家的奇闻趣事汇编

史上最牛的博士论文–德布罗意(De Broglie)
故事发生在二十世纪初的法国。 巴黎。一样的延续着千百年的灯红酒绿,香榭丽舍大道上散发着繁华和暧昧,红磨坊里弥漫着 躁动与彷徨。而在此时的巴黎,有一个年轻人,名字叫做德布罗意(De Broglie),从他的名字当 中可以看出这是一个贵族,事实上德布罗意的父亲正是法国的一个伯爵,并且是正是一位当 权的内阁部长。这样一个不愁吃不愁穿只是成天愁着如何打发时光的花花公子自然要找一 个能消耗精力的东西来磨蹭掉那些无聊的日子(其实象他这样的花花公子大约都会面临这样的问题)德布罗意则找到了一个很酷的“事业”——研究中世纪史。据说是因为中世纪史中有着很多神秘的东西吸引着这位年轻人。

时间一转就到了1919,这是一个科学界急剧动荡动着的年代。就在这一年,德布罗意突 然移情别恋对物理产生了兴趣,尤其是感兴趣于当时正流行的量子论。具体来说就是感兴趣于一个在当时很酷的观点:光具有粒子性。这一观点早在十几年前由普朗 克提出,而后被爱因斯坦用来解释了光电效应,但即便如此,也非常不见容于物理学界各大门派。德布罗意倒并不见得对这一观点的物理思 想有多了解,也许他的理解也仅仅就是理解到这个观点是在说“波就是粒子”。或许是一时冲动,或许是因为年轻而摆酷,德布罗意来到了一派宗师朗之万门下读研 究生。从此,德布罗意走出了一道足以让让任何传奇都黯然失色的人生轨迹。

历史上德布罗意到底花了多少精力去读他的研究生也许已经很难说清,事实上德布罗意 在他的5年研究生生涯中几乎是一事无成。事实上也可以想象,一个此前对物理一 窍不通 的中世纪史爱好者很难真正的在物理上去做些什么。白驹过隙般的五年转眼就过去了,德布罗意开始要为他的博士论文发愁了。其实德布罗意大约只是明白普朗克爱 因斯坦那帮家伙一直在说什么波就是粒子,(事实上对于普朗克大约不能用“一直”二字,此时的普朗克已经完全抛弃自己当初的量子假 设,又回到了经典的就框架。)而真正其中包含的物理,他能理解多少大约只有上帝清楚。

五年的尽头,也就是在1924,德布罗意终于提交了自己的博士论文。他的博士论文只有一页纸多一点,不过可以猜想这一页多一点的一份论文大约已经让德布罗 意很头疼了,只 可惜当时没有枪手可以雇来帮忙写博士论文。他的博士论文只是说了一个猜想,既然波可以是粒子,那么反过来粒子也可以是波。而进一步德布罗意提出波的波矢和 角频率与粒子动量和能量的关系是:
动量=普朗克常数/波矢
能量=普朗克常数*角频率
这就是他的论文里提出的两个公式,而这两个公式的提出也完全是因为在爱因斯坦解释光电效应的时候提出光子的动量和能量与光的参数满足这一关系。可以想象这 样一个博士论文会得到怎样的回应。
在对论文是否通过的投票之前,德布罗意的老板朗之万就事先得知论文评审委员会的六位教授中有三位已明确表态会投反对票。

本来在欧洲,一个学生苦读数年都拿不到学位是件很正常的事情,时至今日的欧洲也依然如此。何况德布罗意本来就是这么一个来混日子的的花花公子。然而这次偏 偏又有些不一样——德布罗意的父亲又是一位权高望众的内阁部长,而德布罗意在此厮混五年最后连一个Ph.D都没拿到,双方面子上自然也有些挂不住。情急之 中,朗之万往他的一个好朋友那里寄了一封信。当初的朗之万是不是碍于情面想帮德布罗意混得一个PhD已不得而知,然而事实上,这 一封信却改变了科学发展的轨迹。

这封信的收信人是爱因斯坦。信的内容大致如下:尊敬的爱因斯坦阁下: 在我这里有一位研究生,已经攻读了五年的博士学位,如今即将毕业,在他提交的毕业论文中有一些新的想法……请对他的论文作出您的评价。另外顺便向您提及, 该研究生的父亲是弊国的一位伯爵,内阁的**部长,若您……,将来您来法国定会受到隆重的接待。    朗之万

在信中,大约朗之万的潜台词似乎就是如果您不肯给个面子,呵呵,以后就甭来法国了。不知是出于知趣呢,还是出于当年自己的离经叛道而产生的惺惺相惜,爱因 斯坦很客气 回了一封信,大意是该论文里有一些很新很有趣的思想云云。 此时的爱因斯坦虽不属于任何名门望派,却已独步于江湖,颇有威望。有了爱因斯坦的这一封信,评审委员会的几位教授也不好再多说些什么了。于是,皆大欢喜。

浪荡子弟德布罗意就这样“攻读”下了他的PhD。而按照当时欧洲的学术传统,朗之万则将德布罗意的博士论文印成若干份分寄到了欧洲各大学的物理 系。大约所有人都以为事情会就此了结,多少年以后德布罗意那篇“很新很有趣” 博士论文也就被埋藏到了档案堆里了。德布罗意大约也就从此以一个PhD的身份继续自己的浪荡生活。但历史总是喜欢用偶然来开一些玩笑,而这种玩笑中往往也 就顺带着改变了许多人的命运。在朗之万寄出的博士论文中,有一份来到了维也纳大学。

1926年初。维也纳。当时在维也纳大学主持物理学术活动的教授是德拜,他收到这份博士论文后,将它交给了他的组里面一位已经年届中年的讲师。这位讲师接 到的任务是在两周后seminar(学术例会)上将该博士论讲一下。这位“老”讲师大约早已适应了他现在这种不知算是平庸还是算是平静的生活,可以想象, 一个已到不惑之年而仍然只在讲师的位置上晃荡的人,其学术前途自然是朦胧而晦暗。 而大约也正因为这位讲师的这种地位才使得它可以获得这个任务,因为德拜将任务交给这位讲师时的理由正是“你现在研究的问题不很重要,不如给我们讲讲德布罗意的论文吧”。 这位讲师的名字叫做——薛定谔(Schrodinger)。

在接下来的两周里,薛定谔仔细的读了一下德布罗意的“博士论文”,其实从内容上来讲也许根本就用不上“仔细”二字,德布罗意的这篇论文只不过一页纸多一 点,通篇提出的式子也不过就两个而已,并且其原型是已经在爱因斯坦发表的论文中出现过的 。然而论文里说的话却让薛定谔一头雾水,薛定谔只知道德布罗意大讲了一通“波即粒子,粒子即波”,除此之外则是“两个黄鹂鸣翠柳”——不知所云。

两周之后,薛定谔硬着头皮把这篇论文的内容在seminar上讲了一下,讲者不懂,听者自然也是云里雾里,而老板德拜则做了一个客气的评价:“这个年轻人 的观点还是有些新颖的东西的,虽然显得很孩子气,当然也许他需要更深入一步,比如既然提到波的概念,那么总该有一个波动方程吧。” 多年以后有人问德拜是否后悔自己当初作出的这一个评论,德拜自我解嘲的说“你不觉得这是一个很好的评论吗?” 并且,德拜建议薛定谔做一做这个工作,在两周以后的seminar上再讲一下。

两周以后。薛定谔再次在seminar上讲解德布罗意的论文,并且为德布罗意的“波”找了一个波动方程。 这个方程就是“薛定谔方程”!当然,一开始德布罗意的那篇论文就已经认为是垃圾,而从垃圾产生出来的自然也不会离垃圾太远,于是没人真正把这个硬生生给德 布罗意的“波”套上的方程当一
回事,甚至还有人顺口编了一首打油诗讽刺薛定谔的方程:欧文用他的psi,计算起来真灵通:但psi真正代表什么,没人能够说得清。(欧文就是薛定 谔,psi是薛定谔波动方程中的一个变量) 故事的情节好像又一次的要归于平庸了,然而平庸偏偏有时候就成了奇迹的理由。大约正是薛定谔的“平庸”使得它对自己的这个波动方程的平庸有些心有不甘,他 决定 再在这个方程中撞一撞运气。

上面讲到的情节放到当时的大环境中来看就好像是湖水下的一场大地震——从湖面上看来却是风平浪静。下面请允许我暂时停止对“老”讲师薛定谔的追踪,而回过 头来看一看这两年发生物理学界这个大湖表面的风浪。

此前,玻尔由普朗克和爱因斯坦的理论的启发提出了著名的“三部曲”,解释了氢光谱,在这十几年的发展当中,由玻尔掌门的哥本哈根学派已然是量子理论界的 “少林武当”。1925,玻尔的得意弟子海森堡提出了著名的矩阵力学,进一步抛弃经典概念,揭示量子图像,精确地解释了许多现象,已经成为哥本哈根学派的 镇门之宝——量子届的“屠龙宝刀”。不过在当时懂矩阵的物理学家没有几个,所以矩阵力学的影响力仍然有限。事实上就是海森堡本人也并不懂“矩阵”,而只是 在他的理论出炉之后哥本哈根学派的另一位弟子玻恩告诉海森堡他用的东西在数学中就是矩阵。

再回过头来再关注一下我们那个生活风平浪静的老讲师薛定谔在干些什么—— 我指的是在薛定谔讲解他的波动方程之后的两个星期里。事实上此时的他正浸在温柔乡中——带着他的情妇在维也纳的某个滑雪场滑雪。不知道是宜人的风景还是身 边的温香软玉,总之是冥冥之中有某种东西,给了薛定谔一个 灵感,而就是这一个灵感,改变了物理学发展的轨迹。 薛定谔从他的方程中得出了玻尔的氢原子理论!

倚天一出,天下大惊。从此谁也不敢再把薛定谔的波动方程当成nonsense(扯淡)了。哥本哈根学派的掌门人玻尔更是大为惊诧,于是将薛定谔请到哥本哈 根,详细切磋量子之精妙。然而让玻尔遗憾的是,在十天的漫长“切磋”中,两个人根本都不懂对方在说些什么。在一场让两个人都疲惫不堪却又毫无结果的“哥本 哈根论剑”之后,薛定谔回到了维也纳,薛定谔回到了维也纳之后仍然继续做了一工作,他证明了海森堡的矩阵力学和他的波动方程表述的量子论其实只是不同的描 述方式。从此“倚天”“屠龙”合而为一。

此后,薛定谔虽也试图从更基本的假设出发导出更基本的方程,但终究没有成功,而不 久,他也对这个失去了兴趣,转而去研究“生命是什么”。 历史则继续着演义他的历史喜剧。德布罗意,薛定谔都在这场喜剧中成为诺奖得主而名垂青史。

其实在这一段让人啼笑皆非的历史当中,上帝还是保留了某种公正的。薛定谔得出它的 波动方程仅在海森堡的矩阵力学的的诞生一年之后,倘若上帝把这个玩笑开得更大一点, 让薛定谔在1925年之前就导出薛定谔方程,那恐怕矩阵力学就根本不可能诞生了(波动方 程也就是偏微分方程的理论是为大多数物理学家所熟悉的,而矩阵在当时则没有多少人懂)。如此则此前在量子领域已辛苦奋斗了十几年的哥本哈根学派就真要吐血了!

薛定谔方程虽然搞出了这么一个波动方程,却并不能真正理解这个方程精髓之处,而对它的方程给出了一个错误的解释——也许命中注定不该属于他的东西终究就不 会让他得到。 对薛定谔方程的正确解释是有哥本哈根学派的玻恩作出的。(当然玻恩的解释也让物理界另一位大师——爱因斯坦极为震怒,至死也念念不忘“上帝不会用掷色子来 决定这个世 界的”,此为后话)。更基本的量子力学方程,也就是薛定谔试图获得但终究无力企及的的基本理论,则是由 根本哈根学派的另一位少壮派弟子——狄拉克导出的,而狄拉克则最终领袖群伦,建起了了量子力学的神殿。

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