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《自然》《科学》承认影响因子扭曲科研[转载]

转载自科学网:http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/12/286540.shtm

近日,《自然》和《科学》杂志在回应中国青年报记者的邮件提问时,都承认影响因子对科研界的影响已经走向了反面。

《自然》杂志母公司自然出版集团大中华区负责人尼克·坎贝尔承认,目前科研界过度依赖期刊声誉以及影响因子。《科学》杂志高级对外联络官皮诺尔在接受中国青年报记者采访时表示:《科学》杂志的首席主编麦克努特博士也认为,影响因子的使用已经扭曲了它的原意。

值得注意的是,《自然》、《科学》以及《细胞》杂志都是以高影响因子著称的,影响因子是目前国际上通用的期刊评价指标,一般来说影响因子越高,期刊的影响力越大。目前,三大刊的影响因子都在30以上,这在学术期刊中是极为罕见的,三大刊也因此被视为顶尖学术期刊,在中国科研界常被简写为“CNS”。

然而,日前,2013年诺贝尔奖得主兰迪·韦恩·谢克曼却在媒体上宣称:“我的实验室将抵制顶级刊物,并且鼓励其他人也这样做。”

谢克曼是美国加州大学伯克利分校分子与细胞生物学系教授,同时也是霍华德·休斯医学研究院的研究人员。12月10日,他在瑞典斯德哥尔摩领取了本年度诺贝尔生理学和医学奖。

就在领奖前一天,谢克曼在其报纸专栏中发表了题为《<自然>、<细胞>和<科学>这类顶级期刊正如何损害科学的》文章,呼吁“科学界应该推翻顶级期刊的暴政”。

谢克曼认为,现行的机制,使得那些最时髦但不一定是最好的研究获得了最大的回报,这就像丰厚的分红导致金融业扭曲一样,一些专业性的奖励,比如在以CNS为主的著名刊物发表论文的权力,扭曲了科研界。

在对顶级期刊的诟病中,谢克曼主要提到了期刊影响因子的负面作用。他认为,影响因子是一种噱头,这种衡量方法有重大缺陷,引用与质量并不完全相关,“一篇论文被大量引用可能是因为它是好的研究,也可能是因为它吸引眼球,或者是挑衅式的甚至是错误的”。

谢克曼认为,顶级期刊喜欢接收那些容易引起噱头的论文,这导致它们在那些时髦的领域里堆起了泡沫,并且阻止其他重要的研究。

坎贝尔不认同谢克曼对《自然》选稿标准的质疑,强调选稿以科学价值为导向。但他承认,目前研究界确实过度依赖期刊的声誉及影响因子。

今年,自然出版集团一项针对2万名科学家的调查发现,这些科学家选择发表论文期刊的三个最重要的因素是:期刊的声誉、期刊的选题方向以及期刊的影响因子。

坎贝尔说,《自然》杂志同仁也多次表达了对于过度依赖影响因子的担忧。

《科学》杂志高级对外联络官皮诺尔也否认杂志扭曲了科研界,他说,《科学》一直在确保为在严格科学规训下的有趣的、具有突破性的和发人深省的重要研究提供平台,并且一直致力于保证全面和专业的同行评议。

但皮诺尔表示:“《科学》的首席主编麦克努特博士并没有否认谢克曼博士的观点,即影响因子的使用已经扭曲了它的原意。麦克努特博士的前任、前首席主编布鲁斯·阿尔伯特博士曾签署关于科研评价的旧金山宣言。该宣言致力于停止使用期刊的影响因子来评估一个独立科学家的工作。”

值得注意的是,谢克曼将基于互联网的开放期刊视为更好的科学传播途径。哈佛大学访问学者约翰·博安农显然不认为开放期刊值得信赖,前不久,他开了个大玩笑:编了不少假名、假单位,把假论文投给了全球304家开放期刊,而这些假论文,根据他的说法,“任何审稿者,只要有高中水平以上的化学知识,就会发现论文中的问题”。结果,超过一半的开放期刊给他发了录稿通知。

博安农对中国青年报记者表示,顶级期刊虽然对科学研究有不当影响,但并非全都是不良影响。他说,发表在CNS上的论文帮助谢克曼获得了诺贝尔奖,“他现在抵制它们,许多科学家认为他是自私的”。 (原标题《影响因子已扭曲科研本意》)

《自然》《科学》承认影响因子扭曲科研[转载]

转载自科学网:http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/12/286540.shtm

近日,《自然》和《科学》杂志在回应中国青年报记者的邮件提问时,都承认影响因子对科研界的影响已经走向了反面。

《自然》杂志母公司自然出版集团大中华区负责人尼克·坎贝尔承认,目前科研界过度依赖期刊声誉以及影响因子。《科学》杂志高级对外联络官皮诺尔在接受中国青年报记者采访时表示:《科学》杂志的首席主编麦克努特博士也认为,影响因子的使用已经扭曲了它的原意。

值得注意的是,《自然》、《科学》以及《细胞》杂志都是以高影响因子著称的,影响因子是目前国际上通用的期刊评价指标,一般来说影响因子越高,期刊的影响力越大。目前,三大刊的影响因子都在30以上,这在学术期刊中是极为罕见的,三大刊也因此被视为顶尖学术期刊,在中国科研界常被简写为“CNS”。

然而,日前,2013年诺贝尔奖得主兰迪·韦恩·谢克曼却在媒体上宣称:“我的实验室将抵制顶级刊物,并且鼓励其他人也这样做。”

谢克曼是美国加州大学伯克利分校分子与细胞生物学系教授,同时也是霍华德·休斯医学研究院的研究人员。12月10日,他在瑞典斯德哥尔摩领取了本年度诺贝尔生理学和医学奖。

就在领奖前一天,谢克曼在其报纸专栏中发表了题为《<自然>、<细胞>和<科学>这类顶级期刊正如何损害科学的》文章,呼吁“科学界应该推翻顶级期刊的暴政”。

谢克曼认为,现行的机制,使得那些最时髦但不一定是最好的研究获得了最大的回报,这就像丰厚的分红导致金融业扭曲一样,一些专业性的奖励,比如在以CNS为主的著名刊物发表论文的权力,扭曲了科研界。

在对顶级期刊的诟病中,谢克曼主要提到了期刊影响因子的负面作用。他认为,影响因子是一种噱头,这种衡量方法有重大缺陷,引用与质量并不完全相关,“一篇论文被大量引用可能是因为它是好的研究,也可能是因为它吸引眼球,或者是挑衅式的甚至是错误的”。

谢克曼认为,顶级期刊喜欢接收那些容易引起噱头的论文,这导致它们在那些时髦的领域里堆起了泡沫,并且阻止其他重要的研究。

坎贝尔不认同谢克曼对《自然》选稿标准的质疑,强调选稿以科学价值为导向。但他承认,目前研究界确实过度依赖期刊的声誉及影响因子。

今年,自然出版集团一项针对2万名科学家的调查发现,这些科学家选择发表论文期刊的三个最重要的因素是:期刊的声誉、期刊的选题方向以及期刊的影响因子。

坎贝尔说,《自然》杂志同仁也多次表达了对于过度依赖影响因子的担忧。

《科学》杂志高级对外联络官皮诺尔也否认杂志扭曲了科研界,他说,《科学》一直在确保为在严格科学规训下的有趣的、具有突破性的和发人深省的重要研究提供平台,并且一直致力于保证全面和专业的同行评议。

但皮诺尔表示:“《科学》的首席主编麦克努特博士并没有否认谢克曼博士的观点,即影响因子的使用已经扭曲了它的原意。麦克努特博士的前任、前首席主编布鲁斯·阿尔伯特博士曾签署关于科研评价的旧金山宣言。该宣言致力于停止使用期刊的影响因子来评估一个独立科学家的工作。”

值得注意的是,谢克曼将基于互联网的开放期刊视为更好的科学传播途径。哈佛大学访问学者约翰·博安农显然不认为开放期刊值得信赖,前不久,他开了个大玩笑:编了不少假名、假单位,把假论文投给了全球304家开放期刊,而这些假论文,根据他的说法,“任何审稿者,只要有高中水平以上的化学知识,就会发现论文中的问题”。结果,超过一半的开放期刊给他发了录稿通知。

博安农对中国青年报记者表示,顶级期刊虽然对科学研究有不当影响,但并非全都是不良影响。他说,发表在CNS上的论文帮助谢克曼获得了诺贝尔奖,“他现在抵制它们,许多科学家认为他是自私的”。 (原标题《影响因子已扭曲科研本意》)

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值得注意的是,《自然》、《科学》以及《细胞》杂志都是以高影响因子著称的,影响因子是目前国际上通用的期刊评价指标,一般来说影响因子越高,期刊的影响力越大。目前,三大刊的影响因子都在30以上,这在学术期刊中是极为罕见的,三大刊也因此被视为顶尖学术期刊,在中国科研界常被简写为“CNS”。

然而,日前,2013年诺贝尔奖得主兰迪·韦恩·谢克曼却在媒体上宣称:“我的实验室将抵制顶级刊物,并且鼓励其他人也这样做。”

谢克曼是美国加州大学伯克利分校分子与细胞生物学系教授,同时也是霍华德·休斯医学研究院的研究人员。12月10日,他在瑞典斯德哥尔摩领取了本年度诺贝尔生理学和医学奖。

就在领奖前一天,谢克曼在其报纸专栏中发表了题为《<自然>、<细胞>和<科学>这类顶级期刊正如何损害科学的》文章,呼吁“科学界应该推翻顶级期刊的暴政”。

谢克曼认为,现行的机制,使得那些最时髦但不一定是最好的研究获得了最大的回报,这就像丰厚的分红导致金融业扭曲一样,一些专业性的奖励,比如在以CNS为主的著名刊物发表论文的权力,扭曲了科研界。

在对顶级期刊的诟病中,谢克曼主要提到了期刊影响因子的负面作用。他认为,影响因子是一种噱头,这种衡量方法有重大缺陷,引用与质量并不完全相关,“一篇论文被大量引用可能是因为它是好的研究,也可能是因为它吸引眼球,或者是挑衅式的甚至是错误的”。

谢克曼认为,顶级期刊喜欢接收那些容易引起噱头的论文,这导致它们在那些时髦的领域里堆起了泡沫,并且阻止其他重要的研究。

坎贝尔不认同谢克曼对《自然》选稿标准的质疑,强调选稿以科学价值为导向。但他承认,目前研究界确实过度依赖期刊的声誉及影响因子。

今年,自然出版集团一项针对2万名科学家的调查发现,这些科学家选择发表论文期刊的三个最重要的因素是:期刊的声誉、期刊的选题方向以及期刊的影响因子。

坎贝尔说,《自然》杂志同仁也多次表达了对于过度依赖影响因子的担忧。

《科学》杂志高级对外联络官皮诺尔也否认杂志扭曲了科研界,他说,《科学》一直在确保为在严格科学规训下的有趣的、具有突破性的和发人深省的重要研究提供平台,并且一直致力于保证全面和专业的同行评议。

但皮诺尔表示:“《科学》的首席主编麦克努特博士并没有否认谢克曼博士的观点,即影响因子的使用已经扭曲了它的原意。麦克努特博士的前任、前首席主编布鲁斯·阿尔伯特博士曾签署关于科研评价的旧金山宣言。该宣言致力于停止使用期刊的影响因子来评估一个独立科学家的工作。”

值得注意的是,谢克曼将基于互联网的开放期刊视为更好的科学传播途径。哈佛大学访问学者约翰·博安农显然不认为开放期刊值得信赖,前不久,他开了个大玩笑:编了不少假名、假单位,把假论文投给了全球304家开放期刊,而这些假论文,根据他的说法,“任何审稿者,只要有高中水平以上的化学知识,就会发现论文中的问题”。结果,超过一半的开放期刊给他发了录稿通知。

博安农对中国青年报记者表示,顶级期刊虽然对科学研究有不当影响,但并非全都是不良影响。他说,发表在CNS上的论文帮助谢克曼获得了诺贝尔奖,“他现在抵制它们,许多科学家认为他是自私的”。 (原标题《影响因子已扭曲科研本意》)

弯曲时空量子场论的历史与现状[转载]

转载自卢昌海的博客,原文地址为:

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST1.php

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST2.php

弯曲时空量子场论的历史与现状

– 作者:Robert M. Wald    译者:卢昌海 –

译者序: 本文译自 Robert M. Wald 的 “The History and Present Status of Quantum Field Theory in Curved Spacetime”, 这是 Wald 向第七届广义相对论历史国际会议 (7th International Conference on the History of General Relativity, 2006) 提交的文稿。 弯曲时空量子场论研究的是经典背景时空 (即经典引力场) 中的量子场。 这一理论具有先天的不足, 它既不包括量子引力效应, 也未 (哪怕在平均意义上) 考虑量子场对经典时空的影响 (考虑了这种影响的理论被称为半经典引力理论), 因此不是一个基础理论 (有些作者将半经典引力理论也并入弯曲时空量子场论之中, 即便这样, 它也依然不是一个基础理论), 而且也不是一个热门领域。 尽管如此, 这一领域的某些经典工作 – 比如 Unruh 效应、 Hawking 辐射等 – 对于深入理解量子引力的某些特征具有重要的价值; 此外, 超弦理论的某些进展使人们对 de Sitter 及 anti-de Sitter 时空中的量子场论产生了较大的兴趣。 这些都在一定程度上维系了人们对这一领域的兴趣, 使之多年以来始终冷而不寂。 本文的作者 Wald 是长期从事这一领域研究的学者, 也是国际知名的广义相对论专家。 本译文略去了原文中的摘要及参考文献。

1. 引论

弯曲时空量子场论是有关量子场在弯曲经典时空中传播的理论。 这里时空 – 依据广义相对论 – 由一个其上定义了 Lorentz 度规 gab 的流形 M 所描述。 为了保证经典动力学在 (M, gab) 上有良好的定义, 我们把注意力集中在 (M, gab) 全局双曲的情形下 [译者注: 有关全局双曲的定义可参阅拙作 “奇点与奇点定理简介” 的 第四节]。 在弯曲时空量子场论的框架内, 量子场对时空几何的反作用可以通过半经典 Einstein 方程 Gab = 8π<Tab> 来体现。 不过, 在这里我将不考虑与反作用有关的问题, 因此在下文中 (M, gab) 可以看作是任意给定的全局双曲时空。

本文的着眼点是关于在弯曲时空中表述量子场论的问题。 我将首先对二十世纪七十年代中期以前这一领域的某些历史沿革做一个叙述, 那时人们清楚地意识到在 “粒子” 这一概念的基础上是无法对理论进行合理表述的。 然后我将叙述在自由量子场的情况下如何通过代数方法解决理论表述中主要的概念性障碍。 最后, 我将叙述最近十年来人们在表述弯曲时空中带相互作用的量子场方面所取得的某些进展。

自由场的大部分量子理论直接来自于对由哈密顿量

H = (1/2)p2 + (1/2)ω2q2 (1)

所描述的普通量子力学谐振子的分析。 通过引进 “下降” (或 “湮灭”) 算符

a = (ω/2)1/2q + i(1/2ω)1/2p (2)

我们可以将 H 改写为

H = ω(a+a + 1/2) (3)

其中 a+ 表示 “上升” (或 “产生”) 算符, 满足对易关系

[a, a+] = 1,   [H, a] = -ωa (4)

由此可知在 Heisenberg 表象中, 位置算符 qH 由

qH = (1/2ω)1/2(e-iωta + eiωta+) (5)

给出。 因此 a 被看作是 Heisenberg 位置算符的正频部分。 谐振子的基态 |0> 由

a|0> = 0 (6)

确定。 所有其它态都可以通过 a+ 的连续作用得到。

现在来考虑 Minkowski 时空中的自由 Klein-Gordon 标量场 φ。 在经典物理中, φ 满足波动方程

aaφ – m2φ = 0 (7)

为了避免技术上的麻烦, 一个方便的做法是想象标量场存在于一个满足周期性边界条件, 边长为 L 的立方体中。 在这种情况下, φ 可以被分解关于 x 的 Fourier 级数, 其系数为

φk ≡ L-3/2 ∫ e-ik·xφ(t, x) d3x (8)

其中

k = (2π/L) (n1, n2, n3) (9)

由此可得

H = Σk (1/2)(|dφk/dt|2 + ωk2k|2) (10)

其中

ωk2 = |k|2 + m2 (11)

因此, 自由标量场 φ 可以被视为是无穷多个互不耦合的谐振子的集合。 φ 的量子场论可以由对所有这些谐振子的量子化而得到。 由此立即可知 Heisenberg 场算符 φ(t, x) 应该由公式

φ(t, x) = L-3/2 Σ (1/2ωk) (eik·x-iωkt ak + e-ik·x+iωkt ak+) (12)

表示。 可是, 上式右端的求和不在任何能够让人们定义 (t,x) 点上的 φ 算符的意义上收敛。 粗略的说, 无穷多个任意高频振子的涨落太过剧烈, 使得 φ(t,x) 无法定义。 不过, 这一困难可以通过用一个任意 “试验函数” f (f 为具有紧致支撑的光滑函数) 对 φ 进行 “涂抹” (smearing) 来克服, 即用

φ(f) = ∫ f(t, x)φ(t, x) d4x (13)

取代 φ(t,x) [译者注: 确切地讲, d4x 应为不变体积元 |det(g)|1/2d4x]。 由此得到的 φ(f) 的公式可以证明具有严格的数学意义, 从而定义了作为 “算符值分布” (operator-valued distribution) 的 φ。

φ 的基态 |0> 很简单, 就是组成 φ 的所有谐振子的共同基态, 即满足对所有 k, ak|0> = 0 的态。 在量子场论中, 这样的态被诠释为代表 “真空”。 形如 (a+)n|0> 的态则被诠释为有 n 个粒子的态。 在相互作用理论中, 场的状态有可能在初末时刻接近于自由场。 在那种情况下, 我们可以对初末时刻的场作粒子诠释。 初末态的粒子描述之间的关系 – 由 S 矩阵给出 – 包含了该相互作用理论的大量动力学信息。 事实上, 它包含了与散射实验有关的所有信息。

平直时空量子场论的粒子诠释或描述取得了巨大的成功, 以至于人们很容易从理论的通常表述中产生一个印象, 即量子场论在本质上其实是一个有关粒子的理论。 然而, 粒子的定义有赖于将 φ 如 (12) 式那样分解为产生和湮灭算符。 这一分解又显著依赖于 Minkowski 时空中的时间平移对称性, 因为 φ 的 “产生部分” 是其在时间平移下的正频部分。 在不具有时间平移对称性的弯曲时空中, “粒子” 这一概念该如何定义远不是显而易见的。

2. 六十年代中期到七十年代中期弯曲时空量子场论的发展

从六十年代中期开始, Parker 对膨胀宇宙中的粒子产生效应进行了研究 [译者注: 早在三十年代末, E. Schrödinger 就曾提到过这种效应, L. Parker 是最早对此进行详细研究的人, 他的结果发表于六十年代末及七十年代初]。 考虑一个空间平直的 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 时空, 其度规为

ds2 = -dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2] (14)

我们首先来考虑 a(t) 在 t<t0 及 t>t1 为常数, 但在中间时段 t0<t<t1 与时间有关的 (高度人为的) 情形。 在 “初始时段” t<t0, 时空与同一时段中的 Minkowski 时空局部不可区分, 因此该区域中一个自由量子场的给定状态具有粒子诠释, 即可以用它的粒子组成来表征。 类似地, 在 “末态时段” t>t1, 同一个状态也存在粒子诠释。 但是, 由于中间时段的度规依赖于时间, 对应于 “初始时段” 纯正频解的 Klein-Gordon 方程的经典解将不会对应于 “末态时段” 的纯正频解。 这表明量子场在初末时段的产生湮灭算符 [对应于初末时段的分解式 (12)] 彼此不同。 这也表明初末时段的粒子组成彼此不同。 换句话说, 宇宙膨胀将会导致自发粒子产生。 初末时段的产生湮灭算符之间的关系可以很普遍地表示为 Bogoliubov 变换, 其系数由经典散射确定。 由此导致的 S 矩阵的普遍公式不难从这些系数中得到, 特别是有关真空中粒子自发产生的表达式。

当然, 我们并不相信宇宙初末时段的 a(t) 会是常数。 在更现实的情形下我们该如何分析粒子的产生呢? 假如宇宙的膨胀足够缓慢, 我们可以定义 “绝热真空态” (adiabatic vacuum state) 这一近似概念, 并引进相对于这一绝热真空的 “粒子” 概念。 这样的粒子概念足以描述当前宇宙中尺度小于 Hubble 半径的量子场现象, 即只有当我们考虑周期与 Hubble 时间 (对当前宇宙来说约为 1010 年) 相当或更长的场振荡模式时, 粒子的概念才变得本质上含糊。 不过, 在大爆炸奇点或非常接近大爆炸奇点的时侯, 粒子概念是高度含糊的。

弯曲时空量子场论发展中的下一个主要进展来自于理论在黑洞上的应用。 按照定义, 渐近时空中的黑洞是一个没有任何东西可以从中逃逸到无穷远处的时空区域。 黑洞被认为是物体完全引力坍缩的终结。 黑洞的时间反演 – 即从无穷远处出发不可能进入的时空区域 – 被称为白洞。 一般相信自然界中不可能出现白洞 (预期黑洞出现与预期白洞不出现之间的不对称性显然与热力学第二定律密切相关)。 不过, 黑洞按预期将会最终演变为一个稳恒的末态, 如果我们在保持对称性的情况下对理想的稳恒末态度规沿逆时间方向延拓, 就会得到包含白洞区域的时空。 因此, 尽管我们不预期白洞会在自然界中出现, 它们将会出现在描述黑洞稳恒末态的理想化的数学解中。

由于按定义就没有任何东西可以从黑洞中逃逸, 因此黑洞对于找寻任何有关粒子产生的可观测效应来说似乎是最没希望的地方之一。 然而, 黑洞的粒子产生效应却很自然地成为了研究课题, 现在我就来解释一下其原因。 在旋转黑洞的外面有一个区域, 叫做能层 (ergosphere), 在那里描述无穷远处时间平移的 Killing 场会变成类空。 这表明处于能层中的观测者相对于无穷远处静止的观测者不可能保持静止。 事实上, 能层中的观测者相对于无穷远处必须顺黑洞旋转的方向转动, 这是广义相对论中 “惯性系拖拽” 效应的一个极端例子。 能层的基本重要性在于, 由于时间平移 Killing 场类空, 因此有可能存在总能量 (包括静质量) 相对于无穷远处为负的经典粒子。 由此, 如 Penrose 在 1969 年所意识到的, 我们可以通过将物体投入能层, 使之分裂为两部分, 其中一部分具有负的总能量, 来从黑洞中获取能量。 在这一过程中负能量的部分会落入黑洞 (从而减少其质量), 但我们可以安排让正能量的部分逃逸至无穷远处, 携带比初始物体更多的能量。

在 Penrose 的发现之后不久, Misner (未发表) 与 Zel’dovich 及 Starobinski 意识到 Penrose 的能量获取过程存在一个波动类比。 与向黑洞发射经典粒子并使之分裂为两部分类似, 我们可以向旋转黑洞发射经典波。 波的一部分将被黑洞吸收, 另一部分则将回到无穷远处。 但是, 如果把波的频率与角度选在一个合适的范围内, 被黑洞吸收的那部分波所携带的能量相对于无穷远处将是负的, 从而回到无穷远处的那部分波将带有比入射波更大的能量与振幅。 这一现象被称为超辐射散射 (superradiant scattering)。

因此, 当一个具有超辐射频率及角度依赖性的波入射到一个旋转黑洞上时, 黑洞将象激光一样放大入射波。 超辐射散射因此与受激辐射有完全的相似性。 但是, 在量子理论中众所周知, 受激辐射出现的场合自发辐射也会出现。 这提示我们, 旋转黑洞应该具有自发辐射 – 即真空中的自发粒子产生。 这是由 Starobinski 注意到, 并被 Unruh 所证实的。

旋转黑洞附近会出现自发粒子产生这一事实并未引起太大的惊讶或激动。 对于宏观的黑洞 – 比如由旋转星体坍缩形成的黑洞 – 来说这一效应小得可以忽略, 因此除非宇宙早期产生过微小的黑洞, 这一效应在天体物理上并没什么重要性。 尽管从原理的角度上讲是一种有趣的现象, 但从可能性的角度讲, 通过经典过程从旋转黑洞中获取能量并不令人吃惊或出人意料。 但是, 它直接导致了引发真正革命的进展。

计算旋转黑洞的粒子产生是在描述黑洞稳恒末态的理想化的时空中进行的。 如上所述, 这样的时空包含有白洞。 因此, 在粒子产生的计算中, 人们必须在白洞视界上附加没有粒子从白洞中出射的初始条件。 在 Unruh 的计算中, 对白洞视界上的初始真空态作了一个看似自然的选择, 但这一选择在物理上是否正确却并不显然。

1974 年, Hawking 意识到这一困难可以通过考虑物理上更有意义的描述黑洞引力坍缩过程而非理想化的稳恒黑洞 (及白洞) 的时空而获得解决。 在进行计算的过程中, 他发现由此得到的结果与从理想化的稳恒黑洞及看似自然的白洞视界上真空态的选择所得的结果有显著的差异。 引人注目的是, Hawking 发现即使是非旋转黑洞, 也会在后期发射粒子并产生一个射向无穷远处的稳定而非零的粒子通量。 更引人注目的是, 他发现对于非旋转黑洞, 其后期射向无穷远处的粒子谱具有精确的热力学特征, 其温度为 T=κ/2π, 其中 κ 表示黑洞的表面引力。

Hawking 的结果意义深远。 它确立了黑洞是热力学意义上具有非零温度的绝对黑体。 这与此前发现的黑洞物理学的某些定律与普通热力学定律之间的数学相似性有着漂亮的联系, 为那些定律之间的相似性不仅仅是数学类似提供了清晰的证据。 这些定律之间的同一性导致了 A/4 与黑洞熵之间的同一性, 其中 A 为视界的面积。 来自 Hawking 结果的这些以及其它推论为我们提供了迄今所知有关量子引力的最深刻的洞察。

不过, Hawking 的计算在弯曲时空量子场论上也有一些重大的推论, 这些是我要在这里强调的。 尽管 Hawking 的结果是如此优美, 使人们无法不相信, 但那些计算中有一个很令人不安的地方: 在黑洞视界附近使用一个看似自然的 “粒子” 概念, 似乎会导致在那里出现密度发散的超高频粒子。 那些 “粒子” 究竟意味着什么? 它们的出现会摧毁黑洞吗?

为了能洞悉这一问题, Unruh 对 “粒子” 概念采取了一个纯操作的定义: “粒子” 是一种能够被粒子探测器纪录的场状态。 然后他证明了在 Minkowski 时空中, 当量子场处于普通的真空态时, 一个加速观测者所携带的粒子探测器将会纪录到粒子。 事实上, 他证明了一个匀加速的观测者将会看到一个处于温度 T=a/2π 的严格的粒子热分布谱, 这里 a 表示观测者的加速度。 这一结果为出现在黑洞视界附近的超高频粒子发散密度的含义提供了一个解释。 那些粒子将会被刚好处于黑洞之外的静止观测者所 “看到”。 这样的观测者为了保持静止必须经受极高的加速度, 他所看到的东西严格对应于 Minkowski 时空中的 Unruh 效应。 但是一个自由落入黑洞的观测者将不会 “看到” 那些粒子, 就象 Minkowski 时空中的惯性观测者不会看到加速观测者所看到的粒子。 不仅如此, 黑洞视界附近的量子场并不带有任何可观的能量动量效应, 因此黑洞外的静止观测者所看到的那些 “粒子” 并不具有显著的反作用, 特别是, 它们不会摧毁黑洞。

从 Unruh 的工作中得到的一个清晰的启示是我们不能把 “粒子” 这一概念当成量子场论的基础。 量子场论, 如其名字所提示的, 实质上是一个有关场, 而非粒子, 的量子理论。 如果我们把局域场看成理论中的基本客体, 那么 Unruh 效应只是这些场与其它量子体系 (比如 “粒子探测器”) 相互作用的简单结果。 如果我们试图把 “粒子” 看成理论中的基本客体, Unruh 效应就会变得不可理解。

进一步的研究表明, 除了稳恒时空 (及其它一些具有非常特殊性质的时空) 外, 弯曲时空量子场论中不存在一个优越的 (preferred) “真空态”, 相应地, 也就不存在优越的 (preferred) “粒子” 概念。 困难的所在并不是真空态这一概念不存在, 而是存在许多, 从而在一般时空中无法选出具有优越性质的唯一真空。 因此, 哪怕仅仅出于这一原因, 将弯曲时空量子场论表示为不依赖于指定真空态或 “粒子” 概念的形式也无疑是上策。

构造自由量子场论的通常方法是先选择一个真空态, 然后定义态的 Hilbert 空间为这一真空态上的 Fock 空间。 场算符 (作为算符值分布 – operator-valued-distribution) 则可以与 (12) 式相类似地予以定义。 如果真空态的不同选择所对应的仅仅是状态相对于其粒子组成的重新标识, 那么即便不存在优越的真空态, 用这种方法构筑理论仍然是有意义的。 但是, 在一般情况下, 对真空态的不同选择将会导致幺正不等价的理论, 因此真空态的选择至关重要。 那么在似乎并不存在任何优越构造方式的情况下, 我们该如何构筑一般弯曲时空中的量子场论呢?

到二十世纪八十年代中期, 经过 Ashtekar、 Sewell、 Kay, 及其他人的努力, 人们发现弯曲时空中的自由场理论可以通过一种完全令人满意的代数方法来表述。 现在我就来叙述这一方法。

3. 弯曲时空自由量子场论的代数表述

在任意全局双曲时空 (M, gab) 的量子场论代数表述中, 人们首先为场可观测量指定一个代数。 对于自由 Klein-Gordon 场, 合适的代数可以通过以下方式来定义。 首先定义一个自由 *-代数 A0, 它由单位元 I 以及形如 φ(f) – 其中 f 为 M 上的试验函数 – 的表达式所生成 [译者注: φ(f) 即 上篇 所定义的 f 对 φ 的 “涂抹”]。 换句话说, A0 包含所有 φ 与 φ* 的有限乘积构成的有限线性组合, 例如 c1φ(f1)φ(f2) + c2φ*(f3)φ(f4)φ*(f5)。 然后再对 A0 附加以下条件: (i) 对 f 线性; (ii) 对 φ 取实值: φ*(f)=φ(f), 其中 f 为 f 的复共轭; (iii) 满足 Klein-Gordon 方程: φ([∇aa-m2]f)=0; (iv) 正则对易关系:

[φ(f), φ(g)] = -iΔ(f, g)I (15)

其中 Δ 表示超前与推迟 Green 函数之差。 我们所需要的 *-代数 A 便是 A0 约去了这些关系后的代数。 注意A 中的可观测量对应于量子场 φ 的相关函数。

在代数方法中, 状态 ω 是一个对所有 A∈A 满足正定条件 ω(A*A)≥0 的线性映射 ω: A→C。 ω(A) 被诠释为可观测量 A 在状态 ω 上的期待值 [译者注: 简单地讲, 在代数表述中态 ω 是作用在可观测量 A 上的函数, 这与通常的量子力学表述恰好相反。 另外, 人们通常在态的定义中附加归一化条件: ω(I)=1。]。

普通 Hilbert 空间中的态可以这样导出代数态: 设 H 为 Hilbert 空间, 带有 A 的表示 π, 即对每一个 A∈A, π(A) 是 H 上的算符, 并且映射 A→π(A) 保持 A 上的代数关系。 令 Ψ∈H 处于所有算符 π(A) 的共同定义域中, 那么由

ω(A) = <Ψ|π(A)|Ψ> (16)

给出的映射 ω: A→C 就定义了 A 上的一个态 [译者注: 确切地讲, 上述定义中的 ψ 是所谓的循环向量 (cyclic vector), 感兴趣的读者可查阅有关 Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造的文献。]。

反过来, 给定了 A 上的一个态 ω, 我们可以用它定义 A 上的一个 (准) 内积:

(A1, A2) = ω(A*1A2) (17)

这不一定能够定义 A 上的内积, 因为尽管对所有 A∈A 都有 (A, A)≥0, 但有可能存在非零元素使得 (A, A)=0。 但是, 出现这种情况时, 我们可以在空间中约去那种零模矢量。 这样我们就得到了一个带有 A 的自然表示 π 的 Hilbert 空间 H。 对应于 I∈A 的矢量 Ψ∈H 对所有 A∈A 满足 ω(A)=<Ψ|π(A)|Ψ>。 确定算符 π(A) 在态 Ψ 上的普通量子力学几率法则可以用来定义可观测量 A 在状态 ω 上的几率法则。 由此, 就 A 中的局域场可观测量而言, 我们得到了 Klein-Gordon 场在任意全局双曲弯曲时空上的完全表述, 即对于任何状态, 我们可以给出测量 A 上所有可观测量的所有可能结果的几率。 我们不需要引进优越 “真空态” 或 “粒子” 的概念, 虽然如果愿意的话我们当然完全可以对特定时空引进那些概念。

如我们刚刚看到的, 代数意义上的每一个状态都对应于一个普通 Hilbert 空间意义上的状态。 那么, 用代数方法表述理论有什么优点呢? 一个主要的优点就是不必在一开始选定表象, 也就是说我们可以同时考虑来自理论的所有 Hilbert 空间构造的所有状态。 由此产生的一个结果是, 我们在定义理论时可以不必在一开始选定 “真空态” 或其它有问题的概念。 此外, 值得注意的是态的代数概念筛除了 Hilbert 空间中不在理论的可观测量定义域中的非物理态, 理论的 Hilbert 空间表象中不在所有 π(A) 的定义域中的矢量不定义代数意义上的态。

就 A 中的可观测量而言, 上面给出了弯曲时空中自由 Klein-Gordon 场的完全令人满意的构造。 类似的构造也适用于所有其它自由 (即无自相互作用的) 量子场。 但是起码出于下面两个原因, 总体的状况仍然是不完全并且不能令人满意的: 第一, 即使我们只对自由 Klein-Gordon 场论感兴趣, 也依然有许多我们感兴趣的可观测量不在 A 中。 事实上, A 中的可观测量只是线性场 φ 的 n-点函数, 它们甚至不包括 φ 及其导数的多项式 (Wick 多项式)。 具有极大物理重要性却不在 A 中的可观测量的一个首要例子是能量动量张量 Tab, 它是估计量子场对时空度规的反作用所需要的。 因此, 我们希望对代数 A 进行扩展, 使之起码包含 Wick 多项式。 第二, 我们并不相信自然界中的量子场是由自由场描述的, 因此我们希望将理论拓展到非线性场。 即使在 Minkowski 时空中, 人们也只在微扰层次上知道该如何做, 但是我们希望起码能把这些微扰法则推广到弯曲时空。 这些微扰法则要求我们能够定义自由场的 Wick 多项式以及场多项式的编时乘积。 为此我们同样需要拓展代数 A 使之包含那样的量。

如果量子场在确定的时空事件 p 上有良好的定义, 定义 φ 的多项式及编时乘积将是直截了当的。 但是, 如我们在 (12) 式后面已经注明的, 量子场只有作为时空上的分布才有意义。 因此, 定义诸如 [φ(p)]2的朴素企图不太可能比试图定义 Dirac δ-函数的平方更有意义。 对于这一例子来说, 一种自然的尝试是通过类似于

φ2(f) = limn→∞∫φ(x)φ(y)Fn(x,y)d4xd4y (18)

的公式来定义涂抹的 Wick 幂 φ2(f), 这里 Fn(x,y) 是一个趋向于 Dirac δ-函数的光滑函数序列。 但是, 右端的极限是发散的, 为了让极限有良好的行为, 必须先对这一表达式做某种类型的 “正规化”。

一旦定义了 Wick 幂 φk(f), 就可以很容易地通过对因子直接 “编时” 而定义编时乘积 T(φk1(f1)…φkn(fn)), 其中支撑 f1,…,fn 具有适当的因果结构使其编时乘积具有良好定义。 事实上, 对因子数目 n 采用归纳法, 只要 f1,…,fn 的支撑的交集为空, 就可以直截了当地定义 T(φk1(f1)…φkn(fn))。 但是, 将这一分布推广到 “全对角” (total diagonal) 情形, 即 f1,…,fn 的支撑的相互交集非空的情形, 却并不直截了当。

从上面我叙述正规化问题的方式来看, 似乎最困难的问题是定义 Wick 多项式, 而定义编时乘积只不过是这一问题的小小补充。 但事实上, 在 Minkowski 时空中 Wick 多项式可以很容易地通过正规乘积方法来定义, 这可以诠释为在对 (18) 式右端取极限前先把场量中的真空期待值减除。 另一方面, 将编时乘积推广为全对角的问题等价于对所有的 Feynman 图进行重整化, 这是一个极端困难与复杂的问题。

为了将 Minkowski 时空中的正规化与重整化方法推广到弯曲时空, 许多重要的原则性问题必须解决。 在 Minkowski 时空中定义 Wick 多项式的正规乘积方法有赖于存在一个优越的真空态, 正规乘积是相对于这一真空态计算的。 但是, 我们已经看到在一般弯曲时空中并不存在优越真空态的概念。 不仅如此, 在 Minkowski 时空中定义编时乘积所需的重整化规则用到了 “动量空间方法” (即物理量的全局 Fourier 变换) 或 “欧几里得方法” (即对定义在欧几里得而非 Minkowski 空间的表达式进行解析延拓)。 这些方法进而要求 Poincaré 对称性, 优越的 Poincaré 不变的真空态, 以及通过变换 t→it 将 Minkowski 时空 “欧几里得化” 的能力。 所有这些在一般的弯曲时空中都不存在。

在七十年代后期人们就已经知道量子场 φ 的能量动量张量只在受到限定的一类状态上才能定义, 这类状态即所谓的 Hadamard 态 ωH, 其两点分布 ωH(φ(x), φ(y)) 在 y→x 时具有特殊形式的小距离奇点行为 [译者注: 这一小距离奇点行为的具体形式为: ωH(φ(x), φ(y)) = U(x, y)/|y-x|2 + V(x, y)ln|y-x|2 + W(x, y), 其中 U, V, W 都是非奇异函数]。 对于 Hadamard 态, 可以给出一个定义期待值 ωH(Tab) 的方法, 涉及从 ωH(φ(x), φ(y)) 中减除一个局域且协变地构造出的 Hadamard 拟基本解奇异函数 (Hadamard parametrix) 而非真空期待值。 由此得到的方法给出了定义 ωH(Tab) 的无需选择真空态的令人完全满意的方式。 事实上, 这一方法在 ωH(Tab) 在 p 点的取值只依赖于时空几何及 p 的任意小邻域内的 ωH 的意义上是局域并且协变的。 不难证明, 即使人们能够在所有时空中选择一个唯一的真空态, 正规乘积也不能给出一个局域且协变的 ωH(Tab)。

但是, 尽管上述方法给出了 Hadamard 态上能量动量张量期待值的令人满意的定义, 并且可以推广为高次 Wick 幂的定义, 它却无法将 Tab 及其它 Wick 幂定义为一个扩展代数中的元素。 事实上, 在理论的 Hilbert 空间表示中, 上述方法只不过将 Tab 定义为 Hadamard 态上的二次形而非算符值分布, 因此不存在表示 Tab 可能取值的概率规则。 此外, 值得一提的是通过小距离奇异结构对 Hadamard 态的表征使用起来极其繁琐。 最后, 直至九十年代中期, 我们还远不清楚如何进行在弯曲时空中定义编时乘积所需的复杂困难得多的重整化。

4. 九十年代中期以来的进展

在过去十年里, 自由量子场可观测量的代数被推广到了含有所有的 Wick 多项式及编时乘积。 特别是, 相互作用量子场在弯曲时空中的微扰重整化现在已经因此而有了很好的严格定义。 这一进展很大一部分来自于将 “微局域分析” (microlocal analysis) 的重要方法引入到理论中。 大体上, 微局域分析提供了对分布中的奇异性的细致描述。 给定流形 M 上 p 点邻域内的一个分布 α, 我们可以对 α 乘上一个在 p 点的任意小邻域内有支撑, 且 f(p)≠0 的光滑函数 f。 然后我们可以分析 fα 的 Fourier 变换的衰减性质 (其中 Fourier 变换可以通过为 包含 fα 支撑的邻域选择一个任意 Euclidean 嵌入来定义)。 如果 α 在 p 点的某邻域内光滑, 则对于支撑在该邻域内的 f, fα 的 Fourier 变换在 Fourier 变换空间 k 中当 |k|→∞ 时将沿所有方向快速衰减。 因此, fα 的 Fourier 变换不快速衰减标识了 α 在 p 点的奇异行为。 如果对所有的 f, fα 的 Fourier 变换沿方向 k 附近都不迅速衰减, 我们就说 (p, k) 在 α 的波前集 (wavefront set) WF(α) 中。 我们可以自然地将 WF(α) 与流形 M 的余切丛对等起来 [译者注: 这是因为 k∈M, 而 Fourier 空间中的波矢 k 是余切向量]。 因此波前集不仅标识了 M 中 α 奇异的点, 而且给出了 (余切空间中的) 奇异方向。 这种分布奇异性的细致标识使我们能够定义通常有问题的操作。 比方说, 如果 α 和 β 是分布, 它们的乘积通常是没有数学意义的。 但是, 假如凡 (p, k) 属于 WF(α) 就有 (p, -k) 不属于 WF(β), 则乘积 αβ 可以通过 Fourier 卷积公式自然地定义。

通过给出诸如分布的乘积何时能定义为分布的法则, 微局域分析提供了判断正规化/重整化方案是否具有良好定义的极其有用的方法。 由于这种分析在本质上是完全局域的, 它提供了分析局域场可观测量的理想工具。

微局域分析在弯曲时空量子场论中的第一个重要应用出现在 Wightman 的学生 Radzikowski 的博士论文中。 Radzikowski 试图证明 Bernard Kay 提出的一个猜想: 如果量子态有一个小距离奇异性为 Hadamard 形式的两点函数, 则它在大距离下不会有任何额外的奇异性 (“局域 Hadamard 形式意味着全局 Hadamard 形式”)。 Radzikowski 使用了微局域分析工具来证明这一猜想。 特别是, 在他的分析过程中, 他证明了通过 ωH(φ(x)φ(y)) 局域奇异性的细致结构来标识 Hadamard 态的繁琐做法等价于有关该分布的波前集的一个很简单的条件, 即 WF[ωH(φ(x)φ(y))] 是包含了所有点 (x,y;k,l) 的 M×M 的余切丛的子集, 这里 x 和 y 由在 x 点处具有未来切向量 ka=gabkb 的类光测地线 γ 所连接, la 则与 ka 沿 γ 平行移动到 y 点处的切向量反向。

值得一提的是在微局域分析与弯曲时空量子场论之间有一个有趣的历史互动。 在六十年代后期 Hormander 访问了 Princeton 高等研究所, 并与 Wightman 有过交流。 Wightman 向 Hormander 解释了什么是 Minkowski 时空中的 Feynman 传播子, 以及用波前集的性质对一般弯曲时空中 Feynman 参数的刻划可以在 Duistermaat 和 Hormander 的经典论文中找到 [译者注: 此处的 “Wightman 向 Hormander 解释” 似应为 “Hormander 向 Wightman 解释”, 这样才能与下文承接。 而且该解释涉及到 Hormander 本人的论文, 从含义上讲也不太可能反倒要 Wightman 来提及]。 而 Wightman 则意识到了微局域分析在表述弯曲时空量子场论时的可能用途。 比方说, 在 de Sitter 时空中不存在全局的类时 Killing 场, 从而没有全局性的正能量。 因此, 人们看来无法象在 Minkowski 情形下要求能量正定那样引入量子场的全局能谱条件 (global spectra condition)。 但是, 人们或许可以在局域量子场可观测量上引入一个 “微局域能谱条件”。 与 Hormander 讨论之后不久, Wightman 有一位学生 S. Fulling 对弯曲时空量子场论感兴趣, 他建议 Fulling 研究微局域分析在弯曲时空量子场论中的可能应用。 但是, 在花费了一些气力研究微局域分析后, Fulling 决定自己最好还是去干点别的。 在 Fulling 随后的毕业论文研究中有一个课题是不同量子化方案的不等价性。 特别是, 他论述了在 Minkowski 时空的 Rindler 楔形 (Rindler wedge) 中用 Lorentz boost Killing 场定义时间平移概念的量子化会给出与将普通 Minkowski 真空局限在该区域不同的真空态。 这一工作为上文提到的 Unruh 后来的分析奠定了数学基础。 然而, Wightman 必须再等二十年才有另一位学生对弯曲时空量子场论感兴趣。 当 Radzikowski 开始用微局域分析方法来分析 Kay 的猜想时, 有充分思想准备的 Wightman 给了他大量的鼓励。

在 Radzikowski 的工作之后, Fredenhagen 及其合作者清楚地意识到微局域分析能够为分析弯曲时空量子场论中的发散性提供所需的工具。 Brunetti, Fredenhagen 及 Kohler 证明了如果我们考虑一个任意 Hadamard 真空态 ω0 的 Fock 表示, 则正规乘积可以被用来在这一 Hilbert 空间上定义作为算符值分布的 Wick 多项式。 事实上, 用这种方法可以定义场可观测量的一个更大 – 大到足以包含所有编时乘积 – 的代数 W。 Brunetti 和 Fredenhagen 还给出了应该加在编时乘积上的微局域能谱条件的表述。 但是, 如前面所述, 正规乘积方法无法给出 Wick 多项式的局域且协变的定义。 而且 Brunetti 等人给出的 W 的构造涉及到 Hadamard 真空态 ω0 的任意选择。 不过, 可以证明 W 作为抽象代数不依赖于 ω0 的选择, 因而它是所需要的可观测量扩展代数的有效候选者。 因此, 剩下的问题是确定 W 中哪些元素正确表述了 “真正的” Wick 多项式及编时乘积。

在 Wick 多项式及编时乘积的定义中要引进的一个关键条件是它们必须是局域且协变的场。 如上节所述, 这一条件曾被引入到能量动量期待值的定义中。 但是, 这一观念在那里的表述对于当前的目的来说是不够的, 我们必须给出一个更普遍的表述。

有了这些关键的想法及构造, 下面这些结果的证明成为了可能: (1) 存在一个定义所有局域、 协变且满足一系列合理附加性质 – 包括在度规的连续/解析变换下连续/解析及具有适当的标度行为 – 的 Wick 多项式的完全确定的方法。 这一方法除了一些 “局域曲率歧义性” (local curvature ambiguity) 外是唯一的。 比如, 对于 Klein-Gordon 场 φ, 定义 φ2 的方法除了

φ2 → φ2 + (c1R + c2m2)I (19)

外是唯一的, 其中 c1, c2 是任意常数, R 为曲率标量, I 表示 W 中的单位元。 对于 Minkowski 时空中的无质量场, 所有的歧义性都消失, 该方法与相对于普通 Minkowski 时空的正规乘积一致。 但在一般弯曲时空中, 定义 φ2 及其它 Wick 多项式的方法不同于任何一种真空态下的正规乘积。 (2) 存在一个定义所有局域、 协变、 满足微局域能谱条件及一系列合理附加性质的编时乘积的方法。 这一方法除了与 Minkowski 分析所预期的同类型但附加了局域曲率歧义性的 “重整化歧义性” (renormalization ambiguities) 外是唯一的。 (3) 在 Minkowski 时空中可重整的理论在弯曲时空中仍是可重整的。 对于可重整理论, 重整化流可以通过量子场在时空度规的标度变换 gab→λ2gab 下的行为来定义。 (4) 可以在编时乘积中附加重整化条件, 使得微扰理论对任意 (未必可重整) 的相互作用逐阶满足: (i) 相互作用场满足经典运动方程。 (ii) 相互作用场的能量动量张量守恒。 所有上述结果都已在不求助于 “真空” 或 “粒子” 观念的情况下得到了。

这些以及过去十年间的其它结果, 表明弯曲时空量子场论具有在深度上能与经典广义相对论相比拟的数学结构。 特别不同寻常的是, 弯曲时空量子场论看上去是数学上自洽的。 尽管由于对引力的处理是经典的, 弯曲时空量子场论不可能是对自然的基础描述, 但很难相信它不是在获取有关自然的某些基本的性质。

上述结果足以在微扰论水平上定义弯曲时空量子场论。 不过, 如何给出弯曲时空中相互作用量子场的非微扰表述仍是一个尚未解决的问题。 我的希望是未来几年中在这方面将会有显著进展。

弯曲时空量子场论的历史与现状[转载]

转载自卢昌海的博客,原文地址为:

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST1.php

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST2.php

弯曲时空量子场论的历史与现状

– 作者:Robert M. Wald    译者:卢昌海 –

译者序: 本文译自 Robert M. Wald 的 “The History and Present Status of Quantum Field Theory in Curved Spacetime”, 这是 Wald 向第七届广义相对论历史国际会议 (7th International Conference on the History of General Relativity, 2006) 提交的文稿。 弯曲时空量子场论研究的是经典背景时空 (即经典引力场) 中的量子场。 这一理论具有先天的不足, 它既不包括量子引力效应, 也未 (哪怕在平均意义上) 考虑量子场对经典时空的影响 (考虑了这种影响的理论被称为半经典引力理论), 因此不是一个基础理论 (有些作者将半经典引力理论也并入弯曲时空量子场论之中, 即便这样, 它也依然不是一个基础理论), 而且也不是一个热门领域。 尽管如此, 这一领域的某些经典工作 – 比如 Unruh 效应、 Hawking 辐射等 – 对于深入理解量子引力的某些特征具有重要的价值; 此外, 超弦理论的某些进展使人们对 de Sitter 及 anti-de Sitter 时空中的量子场论产生了较大的兴趣。 这些都在一定程度上维系了人们对这一领域的兴趣, 使之多年以来始终冷而不寂。 本文的作者 Wald 是长期从事这一领域研究的学者, 也是国际知名的广义相对论专家。 本译文略去了原文中的摘要及参考文献。

1. 引论

弯曲时空量子场论是有关量子场在弯曲经典时空中传播的理论。 这里时空 – 依据广义相对论 – 由一个其上定义了 Lorentz 度规 gab 的流形 M 所描述。 为了保证经典动力学在 (M, gab) 上有良好的定义, 我们把注意力集中在 (M, gab) 全局双曲的情形下 [译者注: 有关全局双曲的定义可参阅拙作 “奇点与奇点定理简介” 的 第四节]。 在弯曲时空量子场论的框架内, 量子场对时空几何的反作用可以通过半经典 Einstein 方程 Gab = 8π<Tab> 来体现。 不过, 在这里我将不考虑与反作用有关的问题, 因此在下文中 (M, gab) 可以看作是任意给定的全局双曲时空。

本文的着眼点是关于在弯曲时空中表述量子场论的问题。 我将首先对二十世纪七十年代中期以前这一领域的某些历史沿革做一个叙述, 那时人们清楚地意识到在 “粒子” 这一概念的基础上是无法对理论进行合理表述的。 然后我将叙述在自由量子场的情况下如何通过代数方法解决理论表述中主要的概念性障碍。 最后, 我将叙述最近十年来人们在表述弯曲时空中带相互作用的量子场方面所取得的某些进展。

自由场的大部分量子理论直接来自于对由哈密顿量

H = (1/2)p2 + (1/2)ω2q2 (1)

所描述的普通量子力学谐振子的分析。 通过引进 “下降” (或 “湮灭”) 算符

a = (ω/2)1/2q + i(1/2ω)1/2p (2)

我们可以将 H 改写为

H = ω(a+a + 1/2) (3)

其中 a+ 表示 “上升” (或 “产生”) 算符, 满足对易关系

[a, a+] = 1,   [H, a] = -ωa (4)

由此可知在 Heisenberg 表象中, 位置算符 qH 由

qH = (1/2ω)1/2(e-iωta + eiωta+) (5)

给出。 因此 a 被看作是 Heisenberg 位置算符的正频部分。 谐振子的基态 |0> 由

a|0> = 0 (6)

确定。 所有其它态都可以通过 a+ 的连续作用得到。

现在来考虑 Minkowski 时空中的自由 Klein-Gordon 标量场 φ。 在经典物理中, φ 满足波动方程

aaφ – m2φ = 0 (7)

为了避免技术上的麻烦, 一个方便的做法是想象标量场存在于一个满足周期性边界条件, 边长为 L 的立方体中。 在这种情况下, φ 可以被分解关于 x 的 Fourier 级数, 其系数为

φk ≡ L-3/2 ∫ e-ik·xφ(t, x) d3x (8)

其中

k = (2π/L) (n1, n2, n3) (9)

由此可得

H = Σk (1/2)(|dφk/dt|2 + ωk2k|2) (10)

其中

ωk2 = |k|2 + m2 (11)

因此, 自由标量场 φ 可以被视为是无穷多个互不耦合的谐振子的集合。 φ 的量子场论可以由对所有这些谐振子的量子化而得到。 由此立即可知 Heisenberg 场算符 φ(t, x) 应该由公式

φ(t, x) = L-3/2 Σ (1/2ωk) (eik·x-iωkt ak + e-ik·x+iωkt ak+) (12)

表示。 可是, 上式右端的求和不在任何能够让人们定义 (t,x) 点上的 φ 算符的意义上收敛。 粗略的说, 无穷多个任意高频振子的涨落太过剧烈, 使得 φ(t,x) 无法定义。 不过, 这一困难可以通过用一个任意 “试验函数” f (f 为具有紧致支撑的光滑函数) 对 φ 进行 “涂抹” (smearing) 来克服, 即用

φ(f) = ∫ f(t, x)φ(t, x) d4x (13)

取代 φ(t,x) [译者注: 确切地讲, d4x 应为不变体积元 |det(g)|1/2d4x]。 由此得到的 φ(f) 的公式可以证明具有严格的数学意义, 从而定义了作为 “算符值分布” (operator-valued distribution) 的 φ。

φ 的基态 |0> 很简单, 就是组成 φ 的所有谐振子的共同基态, 即满足对所有 k, ak|0> = 0 的态。 在量子场论中, 这样的态被诠释为代表 “真空”。 形如 (a+)n|0> 的态则被诠释为有 n 个粒子的态。 在相互作用理论中, 场的状态有可能在初末时刻接近于自由场。 在那种情况下, 我们可以对初末时刻的场作粒子诠释。 初末态的粒子描述之间的关系 – 由 S 矩阵给出 – 包含了该相互作用理论的大量动力学信息。 事实上, 它包含了与散射实验有关的所有信息。

平直时空量子场论的粒子诠释或描述取得了巨大的成功, 以至于人们很容易从理论的通常表述中产生一个印象, 即量子场论在本质上其实是一个有关粒子的理论。 然而, 粒子的定义有赖于将 φ 如 (12) 式那样分解为产生和湮灭算符。 这一分解又显著依赖于 Minkowski 时空中的时间平移对称性, 因为 φ 的 “产生部分” 是其在时间平移下的正频部分。 在不具有时间平移对称性的弯曲时空中, “粒子” 这一概念该如何定义远不是显而易见的。

2. 六十年代中期到七十年代中期弯曲时空量子场论的发展

从六十年代中期开始, Parker 对膨胀宇宙中的粒子产生效应进行了研究 [译者注: 早在三十年代末, E. Schrödinger 就曾提到过这种效应, L. Parker 是最早对此进行详细研究的人, 他的结果发表于六十年代末及七十年代初]。 考虑一个空间平直的 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 时空, 其度规为

ds2 = -dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2] (14)

我们首先来考虑 a(t) 在 t<t0 及 t>t1 为常数, 但在中间时段 t0<t<t1 与时间有关的 (高度人为的) 情形。 在 “初始时段” t<t0, 时空与同一时段中的 Minkowski 时空局部不可区分, 因此该区域中一个自由量子场的给定状态具有粒子诠释, 即可以用它的粒子组成来表征。 类似地, 在 “末态时段” t>t1, 同一个状态也存在粒子诠释。 但是, 由于中间时段的度规依赖于时间, 对应于 “初始时段” 纯正频解的 Klein-Gordon 方程的经典解将不会对应于 “末态时段” 的纯正频解。 这表明量子场在初末时段的产生湮灭算符 [对应于初末时段的分解式 (12)] 彼此不同。 这也表明初末时段的粒子组成彼此不同。 换句话说, 宇宙膨胀将会导致自发粒子产生。 初末时段的产生湮灭算符之间的关系可以很普遍地表示为 Bogoliubov 变换, 其系数由经典散射确定。 由此导致的 S 矩阵的普遍公式不难从这些系数中得到, 特别是有关真空中粒子自发产生的表达式。

当然, 我们并不相信宇宙初末时段的 a(t) 会是常数。 在更现实的情形下我们该如何分析粒子的产生呢? 假如宇宙的膨胀足够缓慢, 我们可以定义 “绝热真空态” (adiabatic vacuum state) 这一近似概念, 并引进相对于这一绝热真空的 “粒子” 概念。 这样的粒子概念足以描述当前宇宙中尺度小于 Hubble 半径的量子场现象, 即只有当我们考虑周期与 Hubble 时间 (对当前宇宙来说约为 1010 年) 相当或更长的场振荡模式时, 粒子的概念才变得本质上含糊。 不过, 在大爆炸奇点或非常接近大爆炸奇点的时侯, 粒子概念是高度含糊的。

弯曲时空量子场论发展中的下一个主要进展来自于理论在黑洞上的应用。 按照定义, 渐近时空中的黑洞是一个没有任何东西可以从中逃逸到无穷远处的时空区域。 黑洞被认为是物体完全引力坍缩的终结。 黑洞的时间反演 – 即从无穷远处出发不可能进入的时空区域 – 被称为白洞。 一般相信自然界中不可能出现白洞 (预期黑洞出现与预期白洞不出现之间的不对称性显然与热力学第二定律密切相关)。 不过, 黑洞按预期将会最终演变为一个稳恒的末态, 如果我们在保持对称性的情况下对理想的稳恒末态度规沿逆时间方向延拓, 就会得到包含白洞区域的时空。 因此, 尽管我们不预期白洞会在自然界中出现, 它们将会出现在描述黑洞稳恒末态的理想化的数学解中。

由于按定义就没有任何东西可以从黑洞中逃逸, 因此黑洞对于找寻任何有关粒子产生的可观测效应来说似乎是最没希望的地方之一。 然而, 黑洞的粒子产生效应却很自然地成为了研究课题, 现在我就来解释一下其原因。 在旋转黑洞的外面有一个区域, 叫做能层 (ergosphere), 在那里描述无穷远处时间平移的 Killing 场会变成类空。 这表明处于能层中的观测者相对于无穷远处静止的观测者不可能保持静止。 事实上, 能层中的观测者相对于无穷远处必须顺黑洞旋转的方向转动, 这是广义相对论中 “惯性系拖拽” 效应的一个极端例子。 能层的基本重要性在于, 由于时间平移 Killing 场类空, 因此有可能存在总能量 (包括静质量) 相对于无穷远处为负的经典粒子。 由此, 如 Penrose 在 1969 年所意识到的, 我们可以通过将物体投入能层, 使之分裂为两部分, 其中一部分具有负的总能量, 来从黑洞中获取能量。 在这一过程中负能量的部分会落入黑洞 (从而减少其质量), 但我们可以安排让正能量的部分逃逸至无穷远处, 携带比初始物体更多的能量。

在 Penrose 的发现之后不久, Misner (未发表) 与 Zel’dovich 及 Starobinski 意识到 Penrose 的能量获取过程存在一个波动类比。 与向黑洞发射经典粒子并使之分裂为两部分类似, 我们可以向旋转黑洞发射经典波。 波的一部分将被黑洞吸收, 另一部分则将回到无穷远处。 但是, 如果把波的频率与角度选在一个合适的范围内, 被黑洞吸收的那部分波所携带的能量相对于无穷远处将是负的, 从而回到无穷远处的那部分波将带有比入射波更大的能量与振幅。 这一现象被称为超辐射散射 (superradiant scattering)。

因此, 当一个具有超辐射频率及角度依赖性的波入射到一个旋转黑洞上时, 黑洞将象激光一样放大入射波。 超辐射散射因此与受激辐射有完全的相似性。 但是, 在量子理论中众所周知, 受激辐射出现的场合自发辐射也会出现。 这提示我们, 旋转黑洞应该具有自发辐射 – 即真空中的自发粒子产生。 这是由 Starobinski 注意到, 并被 Unruh 所证实的。

旋转黑洞附近会出现自发粒子产生这一事实并未引起太大的惊讶或激动。 对于宏观的黑洞 – 比如由旋转星体坍缩形成的黑洞 – 来说这一效应小得可以忽略, 因此除非宇宙早期产生过微小的黑洞, 这一效应在天体物理上并没什么重要性。 尽管从原理的角度上讲是一种有趣的现象, 但从可能性的角度讲, 通过经典过程从旋转黑洞中获取能量并不令人吃惊或出人意料。 但是, 它直接导致了引发真正革命的进展。

计算旋转黑洞的粒子产生是在描述黑洞稳恒末态的理想化的时空中进行的。 如上所述, 这样的时空包含有白洞。 因此, 在粒子产生的计算中, 人们必须在白洞视界上附加没有粒子从白洞中出射的初始条件。 在 Unruh 的计算中, 对白洞视界上的初始真空态作了一个看似自然的选择, 但这一选择在物理上是否正确却并不显然。

1974 年, Hawking 意识到这一困难可以通过考虑物理上更有意义的描述黑洞引力坍缩过程而非理想化的稳恒黑洞 (及白洞) 的时空而获得解决。 在进行计算的过程中, 他发现由此得到的结果与从理想化的稳恒黑洞及看似自然的白洞视界上真空态的选择所得的结果有显著的差异。 引人注目的是, Hawking 发现即使是非旋转黑洞, 也会在后期发射粒子并产生一个射向无穷远处的稳定而非零的粒子通量。 更引人注目的是, 他发现对于非旋转黑洞, 其后期射向无穷远处的粒子谱具有精确的热力学特征, 其温度为 T=κ/2π, 其中 κ 表示黑洞的表面引力。

Hawking 的结果意义深远。 它确立了黑洞是热力学意义上具有非零温度的绝对黑体。 这与此前发现的黑洞物理学的某些定律与普通热力学定律之间的数学相似性有着漂亮的联系, 为那些定律之间的相似性不仅仅是数学类似提供了清晰的证据。 这些定律之间的同一性导致了 A/4 与黑洞熵之间的同一性, 其中 A 为视界的面积。 来自 Hawking 结果的这些以及其它推论为我们提供了迄今所知有关量子引力的最深刻的洞察。

不过, Hawking 的计算在弯曲时空量子场论上也有一些重大的推论, 这些是我要在这里强调的。 尽管 Hawking 的结果是如此优美, 使人们无法不相信, 但那些计算中有一个很令人不安的地方: 在黑洞视界附近使用一个看似自然的 “粒子” 概念, 似乎会导致在那里出现密度发散的超高频粒子。 那些 “粒子” 究竟意味着什么? 它们的出现会摧毁黑洞吗?

为了能洞悉这一问题, Unruh 对 “粒子” 概念采取了一个纯操作的定义: “粒子” 是一种能够被粒子探测器纪录的场状态。 然后他证明了在 Minkowski 时空中, 当量子场处于普通的真空态时, 一个加速观测者所携带的粒子探测器将会纪录到粒子。 事实上, 他证明了一个匀加速的观测者将会看到一个处于温度 T=a/2π 的严格的粒子热分布谱, 这里 a 表示观测者的加速度。 这一结果为出现在黑洞视界附近的超高频粒子发散密度的含义提供了一个解释。 那些粒子将会被刚好处于黑洞之外的静止观测者所 “看到”。 这样的观测者为了保持静止必须经受极高的加速度, 他所看到的东西严格对应于 Minkowski 时空中的 Unruh 效应。 但是一个自由落入黑洞的观测者将不会 “看到” 那些粒子, 就象 Minkowski 时空中的惯性观测者不会看到加速观测者所看到的粒子。 不仅如此, 黑洞视界附近的量子场并不带有任何可观的能量动量效应, 因此黑洞外的静止观测者所看到的那些 “粒子” 并不具有显著的反作用, 特别是, 它们不会摧毁黑洞。

从 Unruh 的工作中得到的一个清晰的启示是我们不能把 “粒子” 这一概念当成量子场论的基础。 量子场论, 如其名字所提示的, 实质上是一个有关场, 而非粒子, 的量子理论。 如果我们把局域场看成理论中的基本客体, 那么 Unruh 效应只是这些场与其它量子体系 (比如 “粒子探测器”) 相互作用的简单结果。 如果我们试图把 “粒子” 看成理论中的基本客体, Unruh 效应就会变得不可理解。

进一步的研究表明, 除了稳恒时空 (及其它一些具有非常特殊性质的时空) 外, 弯曲时空量子场论中不存在一个优越的 (preferred) “真空态”, 相应地, 也就不存在优越的 (preferred) “粒子” 概念。 困难的所在并不是真空态这一概念不存在, 而是存在许多, 从而在一般时空中无法选出具有优越性质的唯一真空。 因此, 哪怕仅仅出于这一原因, 将弯曲时空量子场论表示为不依赖于指定真空态或 “粒子” 概念的形式也无疑是上策。

构造自由量子场论的通常方法是先选择一个真空态, 然后定义态的 Hilbert 空间为这一真空态上的 Fock 空间。 场算符 (作为算符值分布 – operator-valued-distribution) 则可以与 (12) 式相类似地予以定义。 如果真空态的不同选择所对应的仅仅是状态相对于其粒子组成的重新标识, 那么即便不存在优越的真空态, 用这种方法构筑理论仍然是有意义的。 但是, 在一般情况下, 对真空态的不同选择将会导致幺正不等价的理论, 因此真空态的选择至关重要。 那么在似乎并不存在任何优越构造方式的情况下, 我们该如何构筑一般弯曲时空中的量子场论呢?

到二十世纪八十年代中期, 经过 Ashtekar、 Sewell、 Kay, 及其他人的努力, 人们发现弯曲时空中的自由场理论可以通过一种完全令人满意的代数方法来表述。 现在我就来叙述这一方法。

3. 弯曲时空自由量子场论的代数表述

在任意全局双曲时空 (M, gab) 的量子场论代数表述中, 人们首先为场可观测量指定一个代数。 对于自由 Klein-Gordon 场, 合适的代数可以通过以下方式来定义。 首先定义一个自由 *-代数 A0, 它由单位元 I 以及形如 φ(f) – 其中 f 为 M 上的试验函数 – 的表达式所生成 [译者注: φ(f) 即 上篇 所定义的 f 对 φ 的 “涂抹”]。 换句话说, A0 包含所有 φ 与 φ* 的有限乘积构成的有限线性组合, 例如 c1φ(f1)φ(f2) + c2φ*(f3)φ(f4)φ*(f5)。 然后再对 A0 附加以下条件: (i) 对 f 线性; (ii) 对 φ 取实值: φ*(f)=φ(f), 其中 f 为 f 的复共轭; (iii) 满足 Klein-Gordon 方程: φ([∇aa-m2]f)=0; (iv) 正则对易关系:

[φ(f), φ(g)] = -iΔ(f, g)I (15)

其中 Δ 表示超前与推迟 Green 函数之差。 我们所需要的 *-代数 A 便是 A0 约去了这些关系后的代数。 注意A 中的可观测量对应于量子场 φ 的相关函数。

在代数方法中, 状态 ω 是一个对所有 A∈A 满足正定条件 ω(A*A)≥0 的线性映射 ω: A→C。 ω(A) 被诠释为可观测量 A 在状态 ω 上的期待值 [译者注: 简单地讲, 在代数表述中态 ω 是作用在可观测量 A 上的函数, 这与通常的量子力学表述恰好相反。 另外, 人们通常在态的定义中附加归一化条件: ω(I)=1。]。

普通 Hilbert 空间中的态可以这样导出代数态: 设 H 为 Hilbert 空间, 带有 A 的表示 π, 即对每一个 A∈A, π(A) 是 H 上的算符, 并且映射 A→π(A) 保持 A 上的代数关系。 令 Ψ∈H 处于所有算符 π(A) 的共同定义域中, 那么由

ω(A) = <Ψ|π(A)|Ψ> (16)

给出的映射 ω: A→C 就定义了 A 上的一个态 [译者注: 确切地讲, 上述定义中的 ψ 是所谓的循环向量 (cyclic vector), 感兴趣的读者可查阅有关 Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造的文献。]。

反过来, 给定了 A 上的一个态 ω, 我们可以用它定义 A 上的一个 (准) 内积:

(A1, A2) = ω(A*1A2) (17)

这不一定能够定义 A 上的内积, 因为尽管对所有 A∈A 都有 (A, A)≥0, 但有可能存在非零元素使得 (A, A)=0。 但是, 出现这种情况时, 我们可以在空间中约去那种零模矢量。 这样我们就得到了一个带有 A 的自然表示 π 的 Hilbert 空间 H。 对应于 I∈A 的矢量 Ψ∈H 对所有 A∈A 满足 ω(A)=<Ψ|π(A)|Ψ>。 确定算符 π(A) 在态 Ψ 上的普通量子力学几率法则可以用来定义可观测量 A 在状态 ω 上的几率法则。 由此, 就 A 中的局域场可观测量而言, 我们得到了 Klein-Gordon 场在任意全局双曲弯曲时空上的完全表述, 即对于任何状态, 我们可以给出测量 A 上所有可观测量的所有可能结果的几率。 我们不需要引进优越 “真空态” 或 “粒子” 的概念, 虽然如果愿意的话我们当然完全可以对特定时空引进那些概念。

如我们刚刚看到的, 代数意义上的每一个状态都对应于一个普通 Hilbert 空间意义上的状态。 那么, 用代数方法表述理论有什么优点呢? 一个主要的优点就是不必在一开始选定表象, 也就是说我们可以同时考虑来自理论的所有 Hilbert 空间构造的所有状态。 由此产生的一个结果是, 我们在定义理论时可以不必在一开始选定 “真空态” 或其它有问题的概念。 此外, 值得注意的是态的代数概念筛除了 Hilbert 空间中不在理论的可观测量定义域中的非物理态, 理论的 Hilbert 空间表象中不在所有 π(A) 的定义域中的矢量不定义代数意义上的态。

就 A 中的可观测量而言, 上面给出了弯曲时空中自由 Klein-Gordon 场的完全令人满意的构造。 类似的构造也适用于所有其它自由 (即无自相互作用的) 量子场。 但是起码出于下面两个原因, 总体的状况仍然是不完全并且不能令人满意的: 第一, 即使我们只对自由 Klein-Gordon 场论感兴趣, 也依然有许多我们感兴趣的可观测量不在 A 中。 事实上, A 中的可观测量只是线性场 φ 的 n-点函数, 它们甚至不包括 φ 及其导数的多项式 (Wick 多项式)。 具有极大物理重要性却不在 A 中的可观测量的一个首要例子是能量动量张量 Tab, 它是估计量子场对时空度规的反作用所需要的。 因此, 我们希望对代数 A 进行扩展, 使之起码包含 Wick 多项式。 第二, 我们并不相信自然界中的量子场是由自由场描述的, 因此我们希望将理论拓展到非线性场。 即使在 Minkowski 时空中, 人们也只在微扰层次上知道该如何做, 但是我们希望起码能把这些微扰法则推广到弯曲时空。 这些微扰法则要求我们能够定义自由场的 Wick 多项式以及场多项式的编时乘积。 为此我们同样需要拓展代数 A 使之包含那样的量。

如果量子场在确定的时空事件 p 上有良好的定义, 定义 φ 的多项式及编时乘积将是直截了当的。 但是, 如我们在 (12) 式后面已经注明的, 量子场只有作为时空上的分布才有意义。 因此, 定义诸如 [φ(p)]2的朴素企图不太可能比试图定义 Dirac δ-函数的平方更有意义。 对于这一例子来说, 一种自然的尝试是通过类似于

φ2(f) = limn→∞∫φ(x)φ(y)Fn(x,y)d4xd4y (18)

的公式来定义涂抹的 Wick 幂 φ2(f), 这里 Fn(x,y) 是一个趋向于 Dirac δ-函数的光滑函数序列。 但是, 右端的极限是发散的, 为了让极限有良好的行为, 必须先对这一表达式做某种类型的 “正规化”。

一旦定义了 Wick 幂 φk(f), 就可以很容易地通过对因子直接 “编时” 而定义编时乘积 T(φk1(f1)…φkn(fn)), 其中支撑 f1,…,fn 具有适当的因果结构使其编时乘积具有良好定义。 事实上, 对因子数目 n 采用归纳法, 只要 f1,…,fn 的支撑的交集为空, 就可以直截了当地定义 T(φk1(f1)…φkn(fn))。 但是, 将这一分布推广到 “全对角” (total diagonal) 情形, 即 f1,…,fn 的支撑的相互交集非空的情形, 却并不直截了当。

从上面我叙述正规化问题的方式来看, 似乎最困难的问题是定义 Wick 多项式, 而定义编时乘积只不过是这一问题的小小补充。 但事实上, 在 Minkowski 时空中 Wick 多项式可以很容易地通过正规乘积方法来定义, 这可以诠释为在对 (18) 式右端取极限前先把场量中的真空期待值减除。 另一方面, 将编时乘积推广为全对角的问题等价于对所有的 Feynman 图进行重整化, 这是一个极端困难与复杂的问题。

为了将 Minkowski 时空中的正规化与重整化方法推广到弯曲时空, 许多重要的原则性问题必须解决。 在 Minkowski 时空中定义 Wick 多项式的正规乘积方法有赖于存在一个优越的真空态, 正规乘积是相对于这一真空态计算的。 但是, 我们已经看到在一般弯曲时空中并不存在优越真空态的概念。 不仅如此, 在 Minkowski 时空中定义编时乘积所需的重整化规则用到了 “动量空间方法” (即物理量的全局 Fourier 变换) 或 “欧几里得方法” (即对定义在欧几里得而非 Minkowski 空间的表达式进行解析延拓)。 这些方法进而要求 Poincaré 对称性, 优越的 Poincaré 不变的真空态, 以及通过变换 t→it 将 Minkowski 时空 “欧几里得化” 的能力。 所有这些在一般的弯曲时空中都不存在。

在七十年代后期人们就已经知道量子场 φ 的能量动量张量只在受到限定的一类状态上才能定义, 这类状态即所谓的 Hadamard 态 ωH, 其两点分布 ωH(φ(x), φ(y)) 在 y→x 时具有特殊形式的小距离奇点行为 [译者注: 这一小距离奇点行为的具体形式为: ωH(φ(x), φ(y)) = U(x, y)/|y-x|2 + V(x, y)ln|y-x|2 + W(x, y), 其中 U, V, W 都是非奇异函数]。 对于 Hadamard 态, 可以给出一个定义期待值 ωH(Tab) 的方法, 涉及从 ωH(φ(x), φ(y)) 中减除一个局域且协变地构造出的 Hadamard 拟基本解奇异函数 (Hadamard parametrix) 而非真空期待值。 由此得到的方法给出了定义 ωH(Tab) 的无需选择真空态的令人完全满意的方式。 事实上, 这一方法在 ωH(Tab) 在 p 点的取值只依赖于时空几何及 p 的任意小邻域内的 ωH 的意义上是局域并且协变的。 不难证明, 即使人们能够在所有时空中选择一个唯一的真空态, 正规乘积也不能给出一个局域且协变的 ωH(Tab)。

但是, 尽管上述方法给出了 Hadamard 态上能量动量张量期待值的令人满意的定义, 并且可以推广为高次 Wick 幂的定义, 它却无法将 Tab 及其它 Wick 幂定义为一个扩展代数中的元素。 事实上, 在理论的 Hilbert 空间表示中, 上述方法只不过将 Tab 定义为 Hadamard 态上的二次形而非算符值分布, 因此不存在表示 Tab 可能取值的概率规则。 此外, 值得一提的是通过小距离奇异结构对 Hadamard 态的表征使用起来极其繁琐。 最后, 直至九十年代中期, 我们还远不清楚如何进行在弯曲时空中定义编时乘积所需的复杂困难得多的重整化。

4. 九十年代中期以来的进展

在过去十年里, 自由量子场可观测量的代数被推广到了含有所有的 Wick 多项式及编时乘积。 特别是, 相互作用量子场在弯曲时空中的微扰重整化现在已经因此而有了很好的严格定义。 这一进展很大一部分来自于将 “微局域分析” (microlocal analysis) 的重要方法引入到理论中。 大体上, 微局域分析提供了对分布中的奇异性的细致描述。 给定流形 M 上 p 点邻域内的一个分布 α, 我们可以对 α 乘上一个在 p 点的任意小邻域内有支撑, 且 f(p)≠0 的光滑函数 f。 然后我们可以分析 fα 的 Fourier 变换的衰减性质 (其中 Fourier 变换可以通过为 包含 fα 支撑的邻域选择一个任意 Euclidean 嵌入来定义)。 如果 α 在 p 点的某邻域内光滑, 则对于支撑在该邻域内的 f, fα 的 Fourier 变换在 Fourier 变换空间 k 中当 |k|→∞ 时将沿所有方向快速衰减。 因此, fα 的 Fourier 变换不快速衰减标识了 α 在 p 点的奇异行为。 如果对所有的 f, fα 的 Fourier 变换沿方向 k 附近都不迅速衰减, 我们就说 (p, k) 在 α 的波前集 (wavefront set) WF(α) 中。 我们可以自然地将 WF(α) 与流形 M 的余切丛对等起来 [译者注: 这是因为 k∈M, 而 Fourier 空间中的波矢 k 是余切向量]。 因此波前集不仅标识了 M 中 α 奇异的点, 而且给出了 (余切空间中的) 奇异方向。 这种分布奇异性的细致标识使我们能够定义通常有问题的操作。 比方说, 如果 α 和 β 是分布, 它们的乘积通常是没有数学意义的。 但是, 假如凡 (p, k) 属于 WF(α) 就有 (p, -k) 不属于 WF(β), 则乘积 αβ 可以通过 Fourier 卷积公式自然地定义。

通过给出诸如分布的乘积何时能定义为分布的法则, 微局域分析提供了判断正规化/重整化方案是否具有良好定义的极其有用的方法。 由于这种分析在本质上是完全局域的, 它提供了分析局域场可观测量的理想工具。

微局域分析在弯曲时空量子场论中的第一个重要应用出现在 Wightman 的学生 Radzikowski 的博士论文中。 Radzikowski 试图证明 Bernard Kay 提出的一个猜想: 如果量子态有一个小距离奇异性为 Hadamard 形式的两点函数, 则它在大距离下不会有任何额外的奇异性 (“局域 Hadamard 形式意味着全局 Hadamard 形式”)。 Radzikowski 使用了微局域分析工具来证明这一猜想。 特别是, 在他的分析过程中, 他证明了通过 ωH(φ(x)φ(y)) 局域奇异性的细致结构来标识 Hadamard 态的繁琐做法等价于有关该分布的波前集的一个很简单的条件, 即 WF[ωH(φ(x)φ(y))] 是包含了所有点 (x,y;k,l) 的 M×M 的余切丛的子集, 这里 x 和 y 由在 x 点处具有未来切向量 ka=gabkb 的类光测地线 γ 所连接, la 则与 ka 沿 γ 平行移动到 y 点处的切向量反向。

值得一提的是在微局域分析与弯曲时空量子场论之间有一个有趣的历史互动。 在六十年代后期 Hormander 访问了 Princeton 高等研究所, 并与 Wightman 有过交流。 Wightman 向 Hormander 解释了什么是 Minkowski 时空中的 Feynman 传播子, 以及用波前集的性质对一般弯曲时空中 Feynman 参数的刻划可以在 Duistermaat 和 Hormander 的经典论文中找到 [译者注: 此处的 “Wightman 向 Hormander 解释” 似应为 “Hormander 向 Wightman 解释”, 这样才能与下文承接。 而且该解释涉及到 Hormander 本人的论文, 从含义上讲也不太可能反倒要 Wightman 来提及]。 而 Wightman 则意识到了微局域分析在表述弯曲时空量子场论时的可能用途。 比方说, 在 de Sitter 时空中不存在全局的类时 Killing 场, 从而没有全局性的正能量。 因此, 人们看来无法象在 Minkowski 情形下要求能量正定那样引入量子场的全局能谱条件 (global spectra condition)。 但是, 人们或许可以在局域量子场可观测量上引入一个 “微局域能谱条件”。 与 Hormander 讨论之后不久, Wightman 有一位学生 S. Fulling 对弯曲时空量子场论感兴趣, 他建议 Fulling 研究微局域分析在弯曲时空量子场论中的可能应用。 但是, 在花费了一些气力研究微局域分析后, Fulling 决定自己最好还是去干点别的。 在 Fulling 随后的毕业论文研究中有一个课题是不同量子化方案的不等价性。 特别是, 他论述了在 Minkowski 时空的 Rindler 楔形 (Rindler wedge) 中用 Lorentz boost Killing 场定义时间平移概念的量子化会给出与将普通 Minkowski 真空局限在该区域不同的真空态。 这一工作为上文提到的 Unruh 后来的分析奠定了数学基础。 然而, Wightman 必须再等二十年才有另一位学生对弯曲时空量子场论感兴趣。 当 Radzikowski 开始用微局域分析方法来分析 Kay 的猜想时, 有充分思想准备的 Wightman 给了他大量的鼓励。

在 Radzikowski 的工作之后, Fredenhagen 及其合作者清楚地意识到微局域分析能够为分析弯曲时空量子场论中的发散性提供所需的工具。 Brunetti, Fredenhagen 及 Kohler 证明了如果我们考虑一个任意 Hadamard 真空态 ω0 的 Fock 表示, 则正规乘积可以被用来在这一 Hilbert 空间上定义作为算符值分布的 Wick 多项式。 事实上, 用这种方法可以定义场可观测量的一个更大 – 大到足以包含所有编时乘积 – 的代数 W。 Brunetti 和 Fredenhagen 还给出了应该加在编时乘积上的微局域能谱条件的表述。 但是, 如前面所述, 正规乘积方法无法给出 Wick 多项式的局域且协变的定义。 而且 Brunetti 等人给出的 W 的构造涉及到 Hadamard 真空态 ω0 的任意选择。 不过, 可以证明 W 作为抽象代数不依赖于 ω0 的选择, 因而它是所需要的可观测量扩展代数的有效候选者。 因此, 剩下的问题是确定 W 中哪些元素正确表述了 “真正的” Wick 多项式及编时乘积。

在 Wick 多项式及编时乘积的定义中要引进的一个关键条件是它们必须是局域且协变的场。 如上节所述, 这一条件曾被引入到能量动量期待值的定义中。 但是, 这一观念在那里的表述对于当前的目的来说是不够的, 我们必须给出一个更普遍的表述。

有了这些关键的想法及构造, 下面这些结果的证明成为了可能: (1) 存在一个定义所有局域、 协变且满足一系列合理附加性质 – 包括在度规的连续/解析变换下连续/解析及具有适当的标度行为 – 的 Wick 多项式的完全确定的方法。 这一方法除了一些 “局域曲率歧义性” (local curvature ambiguity) 外是唯一的。 比如, 对于 Klein-Gordon 场 φ, 定义 φ2 的方法除了

φ2 → φ2 + (c1R + c2m2)I (19)

外是唯一的, 其中 c1, c2 是任意常数, R 为曲率标量, I 表示 W 中的单位元。 对于 Minkowski 时空中的无质量场, 所有的歧义性都消失, 该方法与相对于普通 Minkowski 时空的正规乘积一致。 但在一般弯曲时空中, 定义 φ2 及其它 Wick 多项式的方法不同于任何一种真空态下的正规乘积。 (2) 存在一个定义所有局域、 协变、 满足微局域能谱条件及一系列合理附加性质的编时乘积的方法。 这一方法除了与 Minkowski 分析所预期的同类型但附加了局域曲率歧义性的 “重整化歧义性” (renormalization ambiguities) 外是唯一的。 (3) 在 Minkowski 时空中可重整的理论在弯曲时空中仍是可重整的。 对于可重整理论, 重整化流可以通过量子场在时空度规的标度变换 gab→λ2gab 下的行为来定义。 (4) 可以在编时乘积中附加重整化条件, 使得微扰理论对任意 (未必可重整) 的相互作用逐阶满足: (i) 相互作用场满足经典运动方程。 (ii) 相互作用场的能量动量张量守恒。 所有上述结果都已在不求助于 “真空” 或 “粒子” 观念的情况下得到了。

这些以及过去十年间的其它结果, 表明弯曲时空量子场论具有在深度上能与经典广义相对论相比拟的数学结构。 特别不同寻常的是, 弯曲时空量子场论看上去是数学上自洽的。 尽管由于对引力的处理是经典的, 弯曲时空量子场论不可能是对自然的基础描述, 但很难相信它不是在获取有关自然的某些基本的性质。

上述结果足以在微扰论水平上定义弯曲时空量子场论。 不过, 如何给出弯曲时空中相互作用量子场的非微扰表述仍是一个尚未解决的问题。 我的希望是未来几年中在这方面将会有显著进展。

弯曲时空量子场论的历史与现状[转载]

转载自卢昌海的博客,原文地址为:

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST1.php

http://www.changhai.org/articles/translation/physics/QFT_in_curvedST2.php

弯曲时空量子场论的历史与现状

– 作者:Robert M. Wald    译者:卢昌海 –

译者序: 本文译自 Robert M. Wald 的 “The History and Present Status of Quantum Field Theory in Curved Spacetime”, 这是 Wald 向第七届广义相对论历史国际会议 (7th International Conference on the History of General Relativity, 2006) 提交的文稿。 弯曲时空量子场论研究的是经典背景时空 (即经典引力场) 中的量子场。 这一理论具有先天的不足, 它既不包括量子引力效应, 也未 (哪怕在平均意义上) 考虑量子场对经典时空的影响 (考虑了这种影响的理论被称为半经典引力理论), 因此不是一个基础理论 (有些作者将半经典引力理论也并入弯曲时空量子场论之中, 即便这样, 它也依然不是一个基础理论), 而且也不是一个热门领域。 尽管如此, 这一领域的某些经典工作 – 比如 Unruh 效应、 Hawking 辐射等 – 对于深入理解量子引力的某些特征具有重要的价值; 此外, 超弦理论的某些进展使人们对 de Sitter 及 anti-de Sitter 时空中的量子场论产生了较大的兴趣。 这些都在一定程度上维系了人们对这一领域的兴趣, 使之多年以来始终冷而不寂。 本文的作者 Wald 是长期从事这一领域研究的学者, 也是国际知名的广义相对论专家。 本译文略去了原文中的摘要及参考文献。

1. 引论

弯曲时空量子场论是有关量子场在弯曲经典时空中传播的理论。 这里时空 – 依据广义相对论 – 由一个其上定义了 Lorentz 度规 gab 的流形 M 所描述。 为了保证经典动力学在 (M, gab) 上有良好的定义, 我们把注意力集中在 (M, gab) 全局双曲的情形下 [译者注: 有关全局双曲的定义可参阅拙作 “奇点与奇点定理简介” 的 第四节]。 在弯曲时空量子场论的框架内, 量子场对时空几何的反作用可以通过半经典 Einstein 方程 Gab = 8π<Tab> 来体现。 不过, 在这里我将不考虑与反作用有关的问题, 因此在下文中 (M, gab) 可以看作是任意给定的全局双曲时空。

本文的着眼点是关于在弯曲时空中表述量子场论的问题。 我将首先对二十世纪七十年代中期以前这一领域的某些历史沿革做一个叙述, 那时人们清楚地意识到在 “粒子” 这一概念的基础上是无法对理论进行合理表述的。 然后我将叙述在自由量子场的情况下如何通过代数方法解决理论表述中主要的概念性障碍。 最后, 我将叙述最近十年来人们在表述弯曲时空中带相互作用的量子场方面所取得的某些进展。

自由场的大部分量子理论直接来自于对由哈密顿量

H = (1/2)p2 + (1/2)ω2q2 (1)

所描述的普通量子力学谐振子的分析。 通过引进 “下降” (或 “湮灭”) 算符

a = (ω/2)1/2q + i(1/2ω)1/2p (2)

我们可以将 H 改写为

H = ω(a+a + 1/2) (3)

其中 a+ 表示 “上升” (或 “产生”) 算符, 满足对易关系

[a, a+] = 1,   [H, a] = -ωa (4)

由此可知在 Heisenberg 表象中, 位置算符 qH 由

qH = (1/2ω)1/2(e-iωta + eiωta+) (5)

给出。 因此 a 被看作是 Heisenberg 位置算符的正频部分。 谐振子的基态 |0> 由

a|0> = 0 (6)

确定。 所有其它态都可以通过 a+ 的连续作用得到。

现在来考虑 Minkowski 时空中的自由 Klein-Gordon 标量场 φ。 在经典物理中, φ 满足波动方程

aaφ – m2φ = 0 (7)

为了避免技术上的麻烦, 一个方便的做法是想象标量场存在于一个满足周期性边界条件, 边长为 L 的立方体中。 在这种情况下, φ 可以被分解关于 x 的 Fourier 级数, 其系数为

φk ≡ L-3/2 ∫ e-ik·xφ(t, x) d3x (8)

其中

k = (2π/L) (n1, n2, n3) (9)

由此可得

H = Σk (1/2)(|dφk/dt|2 + ωk2k|2) (10)

其中

ωk2 = |k|2 + m2 (11)

因此, 自由标量场 φ 可以被视为是无穷多个互不耦合的谐振子的集合。 φ 的量子场论可以由对所有这些谐振子的量子化而得到。 由此立即可知 Heisenberg 场算符 φ(t, x) 应该由公式

φ(t, x) = L-3/2 Σ (1/2ωk) (eik·x-iωkt ak + e-ik·x+iωkt ak+) (12)

表示。 可是, 上式右端的求和不在任何能够让人们定义 (t,x) 点上的 φ 算符的意义上收敛。 粗略的说, 无穷多个任意高频振子的涨落太过剧烈, 使得 φ(t,x) 无法定义。 不过, 这一困难可以通过用一个任意 “试验函数” f (f 为具有紧致支撑的光滑函数) 对 φ 进行 “涂抹” (smearing) 来克服, 即用

φ(f) = ∫ f(t, x)φ(t, x) d4x (13)

取代 φ(t,x) [译者注: 确切地讲, d4x 应为不变体积元 |det(g)|1/2d4x]。 由此得到的 φ(f) 的公式可以证明具有严格的数学意义, 从而定义了作为 “算符值分布” (operator-valued distribution) 的 φ。

φ 的基态 |0> 很简单, 就是组成 φ 的所有谐振子的共同基态, 即满足对所有 k, ak|0> = 0 的态。 在量子场论中, 这样的态被诠释为代表 “真空”。 形如 (a+)n|0> 的态则被诠释为有 n 个粒子的态。 在相互作用理论中, 场的状态有可能在初末时刻接近于自由场。 在那种情况下, 我们可以对初末时刻的场作粒子诠释。 初末态的粒子描述之间的关系 – 由 S 矩阵给出 – 包含了该相互作用理论的大量动力学信息。 事实上, 它包含了与散射实验有关的所有信息。

平直时空量子场论的粒子诠释或描述取得了巨大的成功, 以至于人们很容易从理论的通常表述中产生一个印象, 即量子场论在本质上其实是一个有关粒子的理论。 然而, 粒子的定义有赖于将 φ 如 (12) 式那样分解为产生和湮灭算符。 这一分解又显著依赖于 Minkowski 时空中的时间平移对称性, 因为 φ 的 “产生部分” 是其在时间平移下的正频部分。 在不具有时间平移对称性的弯曲时空中, “粒子” 这一概念该如何定义远不是显而易见的。

2. 六十年代中期到七十年代中期弯曲时空量子场论的发展

从六十年代中期开始, Parker 对膨胀宇宙中的粒子产生效应进行了研究 [译者注: 早在三十年代末, E. Schrödinger 就曾提到过这种效应, L. Parker 是最早对此进行详细研究的人, 他的结果发表于六十年代末及七十年代初]。 考虑一个空间平直的 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 时空, 其度规为

ds2 = -dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2] (14)

我们首先来考虑 a(t) 在 t<t0 及 t>t1 为常数, 但在中间时段 t0<t<t1 与时间有关的 (高度人为的) 情形。 在 “初始时段” t<t0, 时空与同一时段中的 Minkowski 时空局部不可区分, 因此该区域中一个自由量子场的给定状态具有粒子诠释, 即可以用它的粒子组成来表征。 类似地, 在 “末态时段” t>t1, 同一个状态也存在粒子诠释。 但是, 由于中间时段的度规依赖于时间, 对应于 “初始时段” 纯正频解的 Klein-Gordon 方程的经典解将不会对应于 “末态时段” 的纯正频解。 这表明量子场在初末时段的产生湮灭算符 [对应于初末时段的分解式 (12)] 彼此不同。 这也表明初末时段的粒子组成彼此不同。 换句话说, 宇宙膨胀将会导致自发粒子产生。 初末时段的产生湮灭算符之间的关系可以很普遍地表示为 Bogoliubov 变换, 其系数由经典散射确定。 由此导致的 S 矩阵的普遍公式不难从这些系数中得到, 特别是有关真空中粒子自发产生的表达式。

当然, 我们并不相信宇宙初末时段的 a(t) 会是常数。 在更现实的情形下我们该如何分析粒子的产生呢? 假如宇宙的膨胀足够缓慢, 我们可以定义 “绝热真空态” (adiabatic vacuum state) 这一近似概念, 并引进相对于这一绝热真空的 “粒子” 概念。 这样的粒子概念足以描述当前宇宙中尺度小于 Hubble 半径的量子场现象, 即只有当我们考虑周期与 Hubble 时间 (对当前宇宙来说约为 1010 年) 相当或更长的场振荡模式时, 粒子的概念才变得本质上含糊。 不过, 在大爆炸奇点或非常接近大爆炸奇点的时侯, 粒子概念是高度含糊的。

弯曲时空量子场论发展中的下一个主要进展来自于理论在黑洞上的应用。 按照定义, 渐近时空中的黑洞是一个没有任何东西可以从中逃逸到无穷远处的时空区域。 黑洞被认为是物体完全引力坍缩的终结。 黑洞的时间反演 – 即从无穷远处出发不可能进入的时空区域 – 被称为白洞。 一般相信自然界中不可能出现白洞 (预期黑洞出现与预期白洞不出现之间的不对称性显然与热力学第二定律密切相关)。 不过, 黑洞按预期将会最终演变为一个稳恒的末态, 如果我们在保持对称性的情况下对理想的稳恒末态度规沿逆时间方向延拓, 就会得到包含白洞区域的时空。 因此, 尽管我们不预期白洞会在自然界中出现, 它们将会出现在描述黑洞稳恒末态的理想化的数学解中。

由于按定义就没有任何东西可以从黑洞中逃逸, 因此黑洞对于找寻任何有关粒子产生的可观测效应来说似乎是最没希望的地方之一。 然而, 黑洞的粒子产生效应却很自然地成为了研究课题, 现在我就来解释一下其原因。 在旋转黑洞的外面有一个区域, 叫做能层 (ergosphere), 在那里描述无穷远处时间平移的 Killing 场会变成类空。 这表明处于能层中的观测者相对于无穷远处静止的观测者不可能保持静止。 事实上, 能层中的观测者相对于无穷远处必须顺黑洞旋转的方向转动, 这是广义相对论中 “惯性系拖拽” 效应的一个极端例子。 能层的基本重要性在于, 由于时间平移 Killing 场类空, 因此有可能存在总能量 (包括静质量) 相对于无穷远处为负的经典粒子。 由此, 如 Penrose 在 1969 年所意识到的, 我们可以通过将物体投入能层, 使之分裂为两部分, 其中一部分具有负的总能量, 来从黑洞中获取能量。 在这一过程中负能量的部分会落入黑洞 (从而减少其质量), 但我们可以安排让正能量的部分逃逸至无穷远处, 携带比初始物体更多的能量。

在 Penrose 的发现之后不久, Misner (未发表) 与 Zel’dovich 及 Starobinski 意识到 Penrose 的能量获取过程存在一个波动类比。 与向黑洞发射经典粒子并使之分裂为两部分类似, 我们可以向旋转黑洞发射经典波。 波的一部分将被黑洞吸收, 另一部分则将回到无穷远处。 但是, 如果把波的频率与角度选在一个合适的范围内, 被黑洞吸收的那部分波所携带的能量相对于无穷远处将是负的, 从而回到无穷远处的那部分波将带有比入射波更大的能量与振幅。 这一现象被称为超辐射散射 (superradiant scattering)。

因此, 当一个具有超辐射频率及角度依赖性的波入射到一个旋转黑洞上时, 黑洞将象激光一样放大入射波。 超辐射散射因此与受激辐射有完全的相似性。 但是, 在量子理论中众所周知, 受激辐射出现的场合自发辐射也会出现。 这提示我们, 旋转黑洞应该具有自发辐射 – 即真空中的自发粒子产生。 这是由 Starobinski 注意到, 并被 Unruh 所证实的。

旋转黑洞附近会出现自发粒子产生这一事实并未引起太大的惊讶或激动。 对于宏观的黑洞 – 比如由旋转星体坍缩形成的黑洞 – 来说这一效应小得可以忽略, 因此除非宇宙早期产生过微小的黑洞, 这一效应在天体物理上并没什么重要性。 尽管从原理的角度上讲是一种有趣的现象, 但从可能性的角度讲, 通过经典过程从旋转黑洞中获取能量并不令人吃惊或出人意料。 但是, 它直接导致了引发真正革命的进展。

计算旋转黑洞的粒子产生是在描述黑洞稳恒末态的理想化的时空中进行的。 如上所述, 这样的时空包含有白洞。 因此, 在粒子产生的计算中, 人们必须在白洞视界上附加没有粒子从白洞中出射的初始条件。 在 Unruh 的计算中, 对白洞视界上的初始真空态作了一个看似自然的选择, 但这一选择在物理上是否正确却并不显然。

1974 年, Hawking 意识到这一困难可以通过考虑物理上更有意义的描述黑洞引力坍缩过程而非理想化的稳恒黑洞 (及白洞) 的时空而获得解决。 在进行计算的过程中, 他发现由此得到的结果与从理想化的稳恒黑洞及看似自然的白洞视界上真空态的选择所得的结果有显著的差异。 引人注目的是, Hawking 发现即使是非旋转黑洞, 也会在后期发射粒子并产生一个射向无穷远处的稳定而非零的粒子通量。 更引人注目的是, 他发现对于非旋转黑洞, 其后期射向无穷远处的粒子谱具有精确的热力学特征, 其温度为 T=κ/2π, 其中 κ 表示黑洞的表面引力。

Hawking 的结果意义深远。 它确立了黑洞是热力学意义上具有非零温度的绝对黑体。 这与此前发现的黑洞物理学的某些定律与普通热力学定律之间的数学相似性有着漂亮的联系, 为那些定律之间的相似性不仅仅是数学类似提供了清晰的证据。 这些定律之间的同一性导致了 A/4 与黑洞熵之间的同一性, 其中 A 为视界的面积。 来自 Hawking 结果的这些以及其它推论为我们提供了迄今所知有关量子引力的最深刻的洞察。

不过, Hawking 的计算在弯曲时空量子场论上也有一些重大的推论, 这些是我要在这里强调的。 尽管 Hawking 的结果是如此优美, 使人们无法不相信, 但那些计算中有一个很令人不安的地方: 在黑洞视界附近使用一个看似自然的 “粒子” 概念, 似乎会导致在那里出现密度发散的超高频粒子。 那些 “粒子” 究竟意味着什么? 它们的出现会摧毁黑洞吗?

为了能洞悉这一问题, Unruh 对 “粒子” 概念采取了一个纯操作的定义: “粒子” 是一种能够被粒子探测器纪录的场状态。 然后他证明了在 Minkowski 时空中, 当量子场处于普通的真空态时, 一个加速观测者所携带的粒子探测器将会纪录到粒子。 事实上, 他证明了一个匀加速的观测者将会看到一个处于温度 T=a/2π 的严格的粒子热分布谱, 这里 a 表示观测者的加速度。 这一结果为出现在黑洞视界附近的超高频粒子发散密度的含义提供了一个解释。 那些粒子将会被刚好处于黑洞之外的静止观测者所 “看到”。 这样的观测者为了保持静止必须经受极高的加速度, 他所看到的东西严格对应于 Minkowski 时空中的 Unruh 效应。 但是一个自由落入黑洞的观测者将不会 “看到” 那些粒子, 就象 Minkowski 时空中的惯性观测者不会看到加速观测者所看到的粒子。 不仅如此, 黑洞视界附近的量子场并不带有任何可观的能量动量效应, 因此黑洞外的静止观测者所看到的那些 “粒子” 并不具有显著的反作用, 特别是, 它们不会摧毁黑洞。

从 Unruh 的工作中得到的一个清晰的启示是我们不能把 “粒子” 这一概念当成量子场论的基础。 量子场论, 如其名字所提示的, 实质上是一个有关场, 而非粒子, 的量子理论。 如果我们把局域场看成理论中的基本客体, 那么 Unruh 效应只是这些场与其它量子体系 (比如 “粒子探测器”) 相互作用的简单结果。 如果我们试图把 “粒子” 看成理论中的基本客体, Unruh 效应就会变得不可理解。

进一步的研究表明, 除了稳恒时空 (及其它一些具有非常特殊性质的时空) 外, 弯曲时空量子场论中不存在一个优越的 (preferred) “真空态”, 相应地, 也就不存在优越的 (preferred) “粒子” 概念。 困难的所在并不是真空态这一概念不存在, 而是存在许多, 从而在一般时空中无法选出具有优越性质的唯一真空。 因此, 哪怕仅仅出于这一原因, 将弯曲时空量子场论表示为不依赖于指定真空态或 “粒子” 概念的形式也无疑是上策。

构造自由量子场论的通常方法是先选择一个真空态, 然后定义态的 Hilbert 空间为这一真空态上的 Fock 空间。 场算符 (作为算符值分布 – operator-valued-distribution) 则可以与 (12) 式相类似地予以定义。 如果真空态的不同选择所对应的仅仅是状态相对于其粒子组成的重新标识, 那么即便不存在优越的真空态, 用这种方法构筑理论仍然是有意义的。 但是, 在一般情况下, 对真空态的不同选择将会导致幺正不等价的理论, 因此真空态的选择至关重要。 那么在似乎并不存在任何优越构造方式的情况下, 我们该如何构筑一般弯曲时空中的量子场论呢?

到二十世纪八十年代中期, 经过 Ashtekar、 Sewell、 Kay, 及其他人的努力, 人们发现弯曲时空中的自由场理论可以通过一种完全令人满意的代数方法来表述。 现在我就来叙述这一方法。

3. 弯曲时空自由量子场论的代数表述

在任意全局双曲时空 (M, gab) 的量子场论代数表述中, 人们首先为场可观测量指定一个代数。 对于自由 Klein-Gordon 场, 合适的代数可以通过以下方式来定义。 首先定义一个自由 *-代数 A0, 它由单位元 I 以及形如 φ(f) – 其中 f 为 M 上的试验函数 – 的表达式所生成 [译者注: φ(f) 即 上篇 所定义的 f 对 φ 的 “涂抹”]。 换句话说, A0 包含所有 φ 与 φ* 的有限乘积构成的有限线性组合, 例如 c1φ(f1)φ(f2) + c2φ*(f3)φ(f4)φ*(f5)。 然后再对 A0 附加以下条件: (i) 对 f 线性; (ii) 对 φ 取实值: φ*(f)=φ(f), 其中 f 为 f 的复共轭; (iii) 满足 Klein-Gordon 方程: φ([∇aa-m2]f)=0; (iv) 正则对易关系:

[φ(f), φ(g)] = -iΔ(f, g)I (15)

其中 Δ 表示超前与推迟 Green 函数之差。 我们所需要的 *-代数 A 便是 A0 约去了这些关系后的代数。 注意A 中的可观测量对应于量子场 φ 的相关函数。

在代数方法中, 状态 ω 是一个对所有 A∈A 满足正定条件 ω(A*A)≥0 的线性映射 ω: A→C。 ω(A) 被诠释为可观测量 A 在状态 ω 上的期待值 [译者注: 简单地讲, 在代数表述中态 ω 是作用在可观测量 A 上的函数, 这与通常的量子力学表述恰好相反。 另外, 人们通常在态的定义中附加归一化条件: ω(I)=1。]。

普通 Hilbert 空间中的态可以这样导出代数态: 设 H 为 Hilbert 空间, 带有 A 的表示 π, 即对每一个 A∈A, π(A) 是 H 上的算符, 并且映射 A→π(A) 保持 A 上的代数关系。 令 Ψ∈H 处于所有算符 π(A) 的共同定义域中, 那么由

ω(A) = <Ψ|π(A)|Ψ> (16)

给出的映射 ω: A→C 就定义了 A 上的一个态 [译者注: 确切地讲, 上述定义中的 ψ 是所谓的循环向量 (cyclic vector), 感兴趣的读者可查阅有关 Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造的文献。]。

反过来, 给定了 A 上的一个态 ω, 我们可以用它定义 A 上的一个 (准) 内积:

(A1, A2) = ω(A*1A2) (17)

这不一定能够定义 A 上的内积, 因为尽管对所有 A∈A 都有 (A, A)≥0, 但有可能存在非零元素使得 (A, A)=0。 但是, 出现这种情况时, 我们可以在空间中约去那种零模矢量。 这样我们就得到了一个带有 A 的自然表示 π 的 Hilbert 空间 H。 对应于 I∈A 的矢量 Ψ∈H 对所有 A∈A 满足 ω(A)=<Ψ|π(A)|Ψ>。 确定算符 π(A) 在态 Ψ 上的普通量子力学几率法则可以用来定义可观测量 A 在状态 ω 上的几率法则。 由此, 就 A 中的局域场可观测量而言, 我们得到了 Klein-Gordon 场在任意全局双曲弯曲时空上的完全表述, 即对于任何状态, 我们可以给出测量 A 上所有可观测量的所有可能结果的几率。 我们不需要引进优越 “真空态” 或 “粒子” 的概念, 虽然如果愿意的话我们当然完全可以对特定时空引进那些概念。

如我们刚刚看到的, 代数意义上的每一个状态都对应于一个普通 Hilbert 空间意义上的状态。 那么, 用代数方法表述理论有什么优点呢? 一个主要的优点就是不必在一开始选定表象, 也就是说我们可以同时考虑来自理论的所有 Hilbert 空间构造的所有状态。 由此产生的一个结果是, 我们在定义理论时可以不必在一开始选定 “真空态” 或其它有问题的概念。 此外, 值得注意的是态的代数概念筛除了 Hilbert 空间中不在理论的可观测量定义域中的非物理态, 理论的 Hilbert 空间表象中不在所有 π(A) 的定义域中的矢量不定义代数意义上的态。

就 A 中的可观测量而言, 上面给出了弯曲时空中自由 Klein-Gordon 场的完全令人满意的构造。 类似的构造也适用于所有其它自由 (即无自相互作用的) 量子场。 但是起码出于下面两个原因, 总体的状况仍然是不完全并且不能令人满意的: 第一, 即使我们只对自由 Klein-Gordon 场论感兴趣, 也依然有许多我们感兴趣的可观测量不在 A 中。 事实上, A 中的可观测量只是线性场 φ 的 n-点函数, 它们甚至不包括 φ 及其导数的多项式 (Wick 多项式)。 具有极大物理重要性却不在 A 中的可观测量的一个首要例子是能量动量张量 Tab, 它是估计量子场对时空度规的反作用所需要的。 因此, 我们希望对代数 A 进行扩展, 使之起码包含 Wick 多项式。 第二, 我们并不相信自然界中的量子场是由自由场描述的, 因此我们希望将理论拓展到非线性场。 即使在 Minkowski 时空中, 人们也只在微扰层次上知道该如何做, 但是我们希望起码能把这些微扰法则推广到弯曲时空。 这些微扰法则要求我们能够定义自由场的 Wick 多项式以及场多项式的编时乘积。 为此我们同样需要拓展代数 A 使之包含那样的量。

如果量子场在确定的时空事件 p 上有良好的定义, 定义 φ 的多项式及编时乘积将是直截了当的。 但是, 如我们在 (12) 式后面已经注明的, 量子场只有作为时空上的分布才有意义。 因此, 定义诸如 [φ(p)]2的朴素企图不太可能比试图定义 Dirac δ-函数的平方更有意义。 对于这一例子来说, 一种自然的尝试是通过类似于

φ2(f) = limn→∞∫φ(x)φ(y)Fn(x,y)d4xd4y (18)

的公式来定义涂抹的 Wick 幂 φ2(f), 这里 Fn(x,y) 是一个趋向于 Dirac δ-函数的光滑函数序列。 但是, 右端的极限是发散的, 为了让极限有良好的行为, 必须先对这一表达式做某种类型的 “正规化”。

一旦定义了 Wick 幂 φk(f), 就可以很容易地通过对因子直接 “编时” 而定义编时乘积 T(φk1(f1)…φkn(fn)), 其中支撑 f1,…,fn 具有适当的因果结构使其编时乘积具有良好定义。 事实上, 对因子数目 n 采用归纳法, 只要 f1,…,fn 的支撑的交集为空, 就可以直截了当地定义 T(φk1(f1)…φkn(fn))。 但是, 将这一分布推广到 “全对角” (total diagonal) 情形, 即 f1,…,fn 的支撑的相互交集非空的情形, 却并不直截了当。

从上面我叙述正规化问题的方式来看, 似乎最困难的问题是定义 Wick 多项式, 而定义编时乘积只不过是这一问题的小小补充。 但事实上, 在 Minkowski 时空中 Wick 多项式可以很容易地通过正规乘积方法来定义, 这可以诠释为在对 (18) 式右端取极限前先把场量中的真空期待值减除。 另一方面, 将编时乘积推广为全对角的问题等价于对所有的 Feynman 图进行重整化, 这是一个极端困难与复杂的问题。

为了将 Minkowski 时空中的正规化与重整化方法推广到弯曲时空, 许多重要的原则性问题必须解决。 在 Minkowski 时空中定义 Wick 多项式的正规乘积方法有赖于存在一个优越的真空态, 正规乘积是相对于这一真空态计算的。 但是, 我们已经看到在一般弯曲时空中并不存在优越真空态的概念。 不仅如此, 在 Minkowski 时空中定义编时乘积所需的重整化规则用到了 “动量空间方法” (即物理量的全局 Fourier 变换) 或 “欧几里得方法” (即对定义在欧几里得而非 Minkowski 空间的表达式进行解析延拓)。 这些方法进而要求 Poincaré 对称性, 优越的 Poincaré 不变的真空态, 以及通过变换 t→it 将 Minkowski 时空 “欧几里得化” 的能力。 所有这些在一般的弯曲时空中都不存在。

在七十年代后期人们就已经知道量子场 φ 的能量动量张量只在受到限定的一类状态上才能定义, 这类状态即所谓的 Hadamard 态 ωH, 其两点分布 ωH(φ(x), φ(y)) 在 y→x 时具有特殊形式的小距离奇点行为 [译者注: 这一小距离奇点行为的具体形式为: ωH(φ(x), φ(y)) = U(x, y)/|y-x|2 + V(x, y)ln|y-x|2 + W(x, y), 其中 U, V, W 都是非奇异函数]。 对于 Hadamard 态, 可以给出一个定义期待值 ωH(Tab) 的方法, 涉及从 ωH(φ(x), φ(y)) 中减除一个局域且协变地构造出的 Hadamard 拟基本解奇异函数 (Hadamard parametrix) 而非真空期待值。 由此得到的方法给出了定义 ωH(Tab) 的无需选择真空态的令人完全满意的方式。 事实上, 这一方法在 ωH(Tab) 在 p 点的取值只依赖于时空几何及 p 的任意小邻域内的 ωH 的意义上是局域并且协变的。 不难证明, 即使人们能够在所有时空中选择一个唯一的真空态, 正规乘积也不能给出一个局域且协变的 ωH(Tab)。

但是, 尽管上述方法给出了 Hadamard 态上能量动量张量期待值的令人满意的定义, 并且可以推广为高次 Wick 幂的定义, 它却无法将 Tab 及其它 Wick 幂定义为一个扩展代数中的元素。 事实上, 在理论的 Hilbert 空间表示中, 上述方法只不过将 Tab 定义为 Hadamard 态上的二次形而非算符值分布, 因此不存在表示 Tab 可能取值的概率规则。 此外, 值得一提的是通过小距离奇异结构对 Hadamard 态的表征使用起来极其繁琐。 最后, 直至九十年代中期, 我们还远不清楚如何进行在弯曲时空中定义编时乘积所需的复杂困难得多的重整化。

4. 九十年代中期以来的进展

在过去十年里, 自由量子场可观测量的代数被推广到了含有所有的 Wick 多项式及编时乘积。 特别是, 相互作用量子场在弯曲时空中的微扰重整化现在已经因此而有了很好的严格定义。 这一进展很大一部分来自于将 “微局域分析” (microlocal analysis) 的重要方法引入到理论中。 大体上, 微局域分析提供了对分布中的奇异性的细致描述。 给定流形 M 上 p 点邻域内的一个分布 α, 我们可以对 α 乘上一个在 p 点的任意小邻域内有支撑, 且 f(p)≠0 的光滑函数 f。 然后我们可以分析 fα 的 Fourier 变换的衰减性质 (其中 Fourier 变换可以通过为 包含 fα 支撑的邻域选择一个任意 Euclidean 嵌入来定义)。 如果 α 在 p 点的某邻域内光滑, 则对于支撑在该邻域内的 f, fα 的 Fourier 变换在 Fourier 变换空间 k 中当 |k|→∞ 时将沿所有方向快速衰减。 因此, fα 的 Fourier 变换不快速衰减标识了 α 在 p 点的奇异行为。 如果对所有的 f, fα 的 Fourier 变换沿方向 k 附近都不迅速衰减, 我们就说 (p, k) 在 α 的波前集 (wavefront set) WF(α) 中。 我们可以自然地将 WF(α) 与流形 M 的余切丛对等起来 [译者注: 这是因为 k∈M, 而 Fourier 空间中的波矢 k 是余切向量]。 因此波前集不仅标识了 M 中 α 奇异的点, 而且给出了 (余切空间中的) 奇异方向。 这种分布奇异性的细致标识使我们能够定义通常有问题的操作。 比方说, 如果 α 和 β 是分布, 它们的乘积通常是没有数学意义的。 但是, 假如凡 (p, k) 属于 WF(α) 就有 (p, -k) 不属于 WF(β), 则乘积 αβ 可以通过 Fourier 卷积公式自然地定义。

通过给出诸如分布的乘积何时能定义为分布的法则, 微局域分析提供了判断正规化/重整化方案是否具有良好定义的极其有用的方法。 由于这种分析在本质上是完全局域的, 它提供了分析局域场可观测量的理想工具。

微局域分析在弯曲时空量子场论中的第一个重要应用出现在 Wightman 的学生 Radzikowski 的博士论文中。 Radzikowski 试图证明 Bernard Kay 提出的一个猜想: 如果量子态有一个小距离奇异性为 Hadamard 形式的两点函数, 则它在大距离下不会有任何额外的奇异性 (“局域 Hadamard 形式意味着全局 Hadamard 形式”)。 Radzikowski 使用了微局域分析工具来证明这一猜想。 特别是, 在他的分析过程中, 他证明了通过 ωH(φ(x)φ(y)) 局域奇异性的细致结构来标识 Hadamard 态的繁琐做法等价于有关该分布的波前集的一个很简单的条件, 即 WF[ωH(φ(x)φ(y))] 是包含了所有点 (x,y;k,l) 的 M×M 的余切丛的子集, 这里 x 和 y 由在 x 点处具有未来切向量 ka=gabkb 的类光测地线 γ 所连接, la 则与 ka 沿 γ 平行移动到 y 点处的切向量反向。

值得一提的是在微局域分析与弯曲时空量子场论之间有一个有趣的历史互动。 在六十年代后期 Hormander 访问了 Princeton 高等研究所, 并与 Wightman 有过交流。 Wightman 向 Hormander 解释了什么是 Minkowski 时空中的 Feynman 传播子, 以及用波前集的性质对一般弯曲时空中 Feynman 参数的刻划可以在 Duistermaat 和 Hormander 的经典论文中找到 [译者注: 此处的 “Wightman 向 Hormander 解释” 似应为 “Hormander 向 Wightman 解释”, 这样才能与下文承接。 而且该解释涉及到 Hormander 本人的论文, 从含义上讲也不太可能反倒要 Wightman 来提及]。 而 Wightman 则意识到了微局域分析在表述弯曲时空量子场论时的可能用途。 比方说, 在 de Sitter 时空中不存在全局的类时 Killing 场, 从而没有全局性的正能量。 因此, 人们看来无法象在 Minkowski 情形下要求能量正定那样引入量子场的全局能谱条件 (global spectra condition)。 但是, 人们或许可以在局域量子场可观测量上引入一个 “微局域能谱条件”。 与 Hormander 讨论之后不久, Wightman 有一位学生 S. Fulling 对弯曲时空量子场论感兴趣, 他建议 Fulling 研究微局域分析在弯曲时空量子场论中的可能应用。 但是, 在花费了一些气力研究微局域分析后, Fulling 决定自己最好还是去干点别的。 在 Fulling 随后的毕业论文研究中有一个课题是不同量子化方案的不等价性。 特别是, 他论述了在 Minkowski 时空的 Rindler 楔形 (Rindler wedge) 中用 Lorentz boost Killing 场定义时间平移概念的量子化会给出与将普通 Minkowski 真空局限在该区域不同的真空态。 这一工作为上文提到的 Unruh 后来的分析奠定了数学基础。 然而, Wightman 必须再等二十年才有另一位学生对弯曲时空量子场论感兴趣。 当 Radzikowski 开始用微局域分析方法来分析 Kay 的猜想时, 有充分思想准备的 Wightman 给了他大量的鼓励。

在 Radzikowski 的工作之后, Fredenhagen 及其合作者清楚地意识到微局域分析能够为分析弯曲时空量子场论中的发散性提供所需的工具。 Brunetti, Fredenhagen 及 Kohler 证明了如果我们考虑一个任意 Hadamard 真空态 ω0 的 Fock 表示, 则正规乘积可以被用来在这一 Hilbert 空间上定义作为算符值分布的 Wick 多项式。 事实上, 用这种方法可以定义场可观测量的一个更大 – 大到足以包含所有编时乘积 – 的代数 W。 Brunetti 和 Fredenhagen 还给出了应该加在编时乘积上的微局域能谱条件的表述。 但是, 如前面所述, 正规乘积方法无法给出 Wick 多项式的局域且协变的定义。 而且 Brunetti 等人给出的 W 的构造涉及到 Hadamard 真空态 ω0 的任意选择。 不过, 可以证明 W 作为抽象代数不依赖于 ω0 的选择, 因而它是所需要的可观测量扩展代数的有效候选者。 因此, 剩下的问题是确定 W 中哪些元素正确表述了 “真正的” Wick 多项式及编时乘积。

在 Wick 多项式及编时乘积的定义中要引进的一个关键条件是它们必须是局域且协变的场。 如上节所述, 这一条件曾被引入到能量动量期待值的定义中。 但是, 这一观念在那里的表述对于当前的目的来说是不够的, 我们必须给出一个更普遍的表述。

有了这些关键的想法及构造, 下面这些结果的证明成为了可能: (1) 存在一个定义所有局域、 协变且满足一系列合理附加性质 – 包括在度规的连续/解析变换下连续/解析及具有适当的标度行为 – 的 Wick 多项式的完全确定的方法。 这一方法除了一些 “局域曲率歧义性” (local curvature ambiguity) 外是唯一的。 比如, 对于 Klein-Gordon 场 φ, 定义 φ2 的方法除了

φ2 → φ2 + (c1R + c2m2)I (19)

外是唯一的, 其中 c1, c2 是任意常数, R 为曲率标量, I 表示 W 中的单位元。 对于 Minkowski 时空中的无质量场, 所有的歧义性都消失, 该方法与相对于普通 Minkowski 时空的正规乘积一致。 但在一般弯曲时空中, 定义 φ2 及其它 Wick 多项式的方法不同于任何一种真空态下的正规乘积。 (2) 存在一个定义所有局域、 协变、 满足微局域能谱条件及一系列合理附加性质的编时乘积的方法。 这一方法除了与 Minkowski 分析所预期的同类型但附加了局域曲率歧义性的 “重整化歧义性” (renormalization ambiguities) 外是唯一的。 (3) 在 Minkowski 时空中可重整的理论在弯曲时空中仍是可重整的。 对于可重整理论, 重整化流可以通过量子场在时空度规的标度变换 gab→λ2gab 下的行为来定义。 (4) 可以在编时乘积中附加重整化条件, 使得微扰理论对任意 (未必可重整) 的相互作用逐阶满足: (i) 相互作用场满足经典运动方程。 (ii) 相互作用场的能量动量张量守恒。 所有上述结果都已在不求助于 “真空” 或 “粒子” 观念的情况下得到了。

这些以及过去十年间的其它结果, 表明弯曲时空量子场论具有在深度上能与经典广义相对论相比拟的数学结构。 特别不同寻常的是, 弯曲时空量子场论看上去是数学上自洽的。 尽管由于对引力的处理是经典的, 弯曲时空量子场论不可能是对自然的基础描述, 但很难相信它不是在获取有关自然的某些基本的性质。

上述结果足以在微扰论水平上定义弯曲时空量子场论。 不过, 如何给出弯曲时空中相互作用量子场的非微扰表述仍是一个尚未解决的问题。 我的希望是未来几年中在这方面将会有显著进展。